与えられた式 $64x^6 - y^6$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $64x^6 - y^6$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$64x^6$ と $y^6$ をそれぞれ何かの2乗の形に変形します。

$64x^6 = (8x^3)^2$ および $y^6 = (y^3)^2$ なので、

$64x^6 - y^6 = (8x^3)^2 - (y^3)^2$ となります。

これは $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ という因数分解の公式を利用できる形です。

この公式を使うと、

$(8x^3)^2 - (y^3)^2 = (8x^3 + y^3)(8x^3 - y^3)$ となります。

次に、$8x^3$ と $y^3$ はそれぞれ $2x$ と $y$ の3乗であることに着目します。つまり、$8x^3 = (2x)^3$ および $y^3 = y^3$ です。

$A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$ および $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$ という因数分解の公式を利用すると、

$8x^3 + y^3 = (2x)^3 + y^3 = (2x + y)((2x)^2 - (2x)y + y^2) = (2x+y)(4x^2 - 2xy + y^2)$

$8x^3 - y^3 = (2x)^3 - y^3 = (2x - y)((2x)^2 + (2x)y + y^2) = (2x-y)(4x^2 + 2xy + y^2)$

となります。

よって、

$64x^6 - y^6 = (8x^3 + y^3)(8x^3 - y^3) = (2x+y)(4x^2 - 2xy + y^2)(2x-y)(4x^2 + 2xy + y^2)$

となります。

3. 最終的な答え

$(2x+y)(4x^2-2xy+y^2)(2x-y)(4x^2+2xy+y^2)$