放物線 $y = x^2 + x - 3$ について、以下の問いに答える。 (1) 放物線と $x$ 軸の共有点の座標を求めよ。 (2) 放物線が $x$ 軸から切り取る線分の長さを求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + x - 3$ について、以下の問いに答える。

(1) 放物線と $x$ 軸の共有点の座標を求めよ。

(2) 放物線が $x$ 軸から切り取る線分の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 放物線と $x$ 軸の共有点は、$y = 0$ となる $x$ の値を求めることで得られる。

つまり、二次方程式 $x^2 + x - 3 = 0$ を解く。

解の公式を用いると、

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a = 1$, $b = 1$, $c = -3$ であるから、

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}$

したがって、共有点の $x$ 座標は $\frac{-1 + \sqrt{13}}{2}$ と $\frac{-1 - \sqrt{13}}{2}$ である。

共有点の座標は $\left(\frac{-1 + \sqrt{13}}{2}, 0\right)$ と $\left(\frac{-1 - \sqrt{13}}{2}, 0\right)$ である。

(2) 放物線が $x$ 軸から切り取る線分の長さは、$x$ 軸との共有点の $x$ 座標の差の絶対値である。

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}$, $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{13}}{2}$ とすると、

線分の長さは $|x_1 - x_2| = \left|\frac{-1 + \sqrt{13}}{2} - \frac{-1 - \sqrt{13}}{2}\right| = \left|\frac{-1 + \sqrt{13} + 1 + \sqrt{13}}{2}\right| = \left|\frac{2\sqrt{13}}{2}\right| = \sqrt{13}$

3. 最終的な答え

(1) 放物線と $x$ 軸の共有点の座標は $\left(\frac{-1 + \sqrt{13}}{2}, 0\right)$ と $\left(\frac{-1 - \sqrt{13}}{2}, 0\right)$

(2) 放物線が $x$ 軸から切り取る線分の長さは $\sqrt{13}$