(1) 多項式 $P(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + 1$ が $x+2$ で割り切れ、$x-1$ で割ったときの余りが $9$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求める。 (2) $a, b$ を実数とする。多項式 $x^3 + x^2 + ax + b$ が $(x+3)(x-4)$ で割り切れるとき、$a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 多項式 $P(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + 1$ が $x+2$ で割り切れ、$x-1$ で割ったときの余りが $9$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求める。

(2) $a, b$ を実数とする。多項式 $x^3 + x^2 + ax + b$ が $(x+3)(x-4)$ で割り切れるとき、$a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$P(x)$ が $x+2$ で割り切れるので、$P(-2) = 0$ である。

$P(-2) = 2(-2)^3 + a(-2)^2 + b(-2) + 1 = -16 + 4a - 2b + 1 = 4a - 2b - 15 = 0$

よって、

$4a - 2b = 15$ ...(1)

$P(x)$ を $x-1$ で割った余りが $9$ なので、$P(1) = 9$ である。

$P(1) = 2(1)^3 + a(1)^2 + b(1) + 1 = 2 + a + b + 1 = a + b + 3 = 9$

よって、

$a + b = 6$ ...(2)

(1) + 2*(2) より

$4a - 2b + 2(a + b) = 15 + 2(6)$

$4a - 2b + 2a + 2b = 15 + 12$

$6a = 27$

$a = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$

(2) より

$b = 6 - a = 6 - \frac{9}{2} = \frac{12}{2} - \frac{9}{2} = \frac{3}{2}$

よって、$a = \frac{9}{2}, b = \frac{3}{2}$

(2)

$x^3 + x^2 + ax + b$ が $(x+3)(x-4) = x^2 - x - 12$ で割り切れるので、

$x^3 + x^2 + ax + b = (x^2 - x - 12)(x + c)$ （$c$ は定数）

$= x^3 + cx^2 - x^2 - cx - 12x - 12c = x^3 + (c-1)x^2 + (-c-12)x - 12c$

係数を比較すると

$1 = c - 1$ より $c = 2$

$a = -c - 12 = -2 - 12 = -14$

$b = -12c = -12(2) = -24$

よって、$a = -14, b = -24$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{9}{2}, b = \frac{3}{2}$

(2) $a = -14, b = -24$