xy平面上に点P(2, 3)と直線 $l: y=2x-4$ がある。 (1) 点Pを通り直線$l$に平行な直線の方程式を求める。 (2) 点Pを通り直線$l$に垂直な直線の方程式を求める。 (3) 点Pと直線$l$の距離を求める。

1. 問題の内容

xy平面上に点P(2, 3)と直線 $l: y=2x-4$ がある。

(1) 点Pを通り直線$l$に平行な直線の方程式を求める。

(2) 点Pを通り直線$l$に垂直な直線の方程式を求める。

(3) 点Pと直線$l$の距離を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点P(2, 3)を通り、直線$l: y=2x-4$ に平行な直線を求める。

平行な直線の傾きは同じなので、求める直線の傾きは2である。

点(2, 3)を通り、傾きが2の直線の方程式は、

$y - 3 = 2(x - 2)$

$y - 3 = 2x - 4$

$y = 2x - 1$

(2) 点P(2, 3)を通り、直線$l: y=2x-4$ に垂直な直線を求める。

垂直な直線の傾きは、$m_1 \times m_2 = -1$ の関係にある。

直線$l$の傾きは2なので、求める直線の傾きは$-\frac{1}{2}$である。

点(2, 3)を通り、傾きが$-\frac{1}{2}$の直線の方程式は、

$y - 3 = -\frac{1}{2}(x - 2)$

$y - 3 = -\frac{1}{2}x + 1$

$y = -\frac{1}{2}x + 4$

(3) 点P(2, 3)と直線$l: y=2x-4$ の距離を求める。

直線$l$の方程式を一般形に変形すると、$2x - y - 4 = 0$となる。

点$(x_0, y_0)$と直線$ax + by + c = 0$ の距離dは、

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

点P(2, 3)と直線$2x - y - 4 = 0$ の距離は、

$d = \frac{|2(2) - 3 - 4|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}}$

$d = \frac{|4 - 3 - 4|}{\sqrt{4 + 1}}$

$d = \frac{|-3|}{\sqrt{5}}$

$d = \frac{3}{\sqrt{5}}$

$d = \frac{3\sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x - 1$

(2) $y = -\frac{1}{2}x + 4$

(3) $\frac{3\sqrt{5}}{5}$