円 $(x+2)^2 + (y-5)^2 = 10$ と直線 $x + 3y = k$ が共有点を持つような定数 $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

円 $(x+2)^2 + (y-5)^2 = 10$ と直線 $x + 3y = k$ が共有点を持つような定数 $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

円 $(x+2)^2 + (y-5)^2 = 10$ の中心は $(-2, 5)$、半径は $\sqrt{10}$ である。

円と直線が共有点を持つ条件は、円の中心と直線の距離 $d$ が半径 $\sqrt{10}$ 以下であることである。

点 $(-2, 5)$ と直線 $x+3y-k=0$ の距離 $d$ は、

$d = \frac{|(-2) + 3(5) - k|}{\sqrt{1^2 + 3^2}} = \frac{|13 - k|}{\sqrt{10}}$

共有点を持つ条件 $d \le \sqrt{10}$ は、

$\frac{|13 - k|}{\sqrt{10}} \le \sqrt{10}$

$|13 - k| \le 10$

$-10 \le 13 - k \le 10$

$-10 - 13 \le -k \le 10 - 13$

$-23 \le -k \le -3$

$3 \le k \le 23$

3. 最終的な答え

$3 \le k \le 23$