(1) $xy$ 平面上に、2点 $O(0, 0)$ と $A(3, 0)$ がある。点 $P$ が $OP:AP = 1:1$ を満たしながら動くとき、$P$ の軌跡は直線であり、その方程式を求めよ。また、$P$ が $OP:AP = 1:2$ を満たしながら動くとき、$P$ の軌跡は円であり、その方程式を求めよ。 (2) 座標平面上の2点 $A(1, 4)$, $B(-1, 0)$ からの距離の2乗の和 $AP^2 + BP^2$ が18である点 $P$ の軌跡を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $xy$ 平面上に、2点 $O(0, 0)$ と $A(3, 0)$ がある。点 $P$ が $OP:AP = 1:1$ を満たしながら動くとき、$P$ の軌跡は直線であり、その方程式を求めよ。また、$P$ が $OP:AP = 1:2$ を満たしながら動くとき、$P$ の軌跡は円であり、その方程式を求めよ。

(2) 座標平面上の2点 $A(1, 4)$, $B(-1, 0)$ からの距離の2乗の和 $AP^2 + BP^2$ が18である点 $P$ の軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

* $OP:AP = 1:1$ のとき

点 $P$ の座標を $(x, y)$ とする。$OP:AP = 1:1$ より、$OP = AP$。

$OP^2 = x^2 + y^2$

$AP^2 = (x-3)^2 + y^2$

$OP^2 = AP^2$ なので、

$x^2 + y^2 = (x-3)^2 + y^2$

$x^2 = x^2 - 6x + 9$

$6x = 9$

$x = \frac{3}{2}$

これは直線の方程式である。

* $OP:AP = 1:2$ のとき

$2OP = AP$

$4OP^2 = AP^2$

$4(x^2 + y^2) = (x-3)^2 + y^2$

$4x^2 + 4y^2 = x^2 - 6x + 9 + y^2$

$3x^2 + 6x + 3y^2 = 9$

$x^2 + 2x + y^2 = 3$

$(x+1)^2 - 1 + y^2 = 3$

$(x+1)^2 + y^2 = 4$

これは円の方程式で、中心は $(-1, 0)$、半径は2である。

(2) 点 $P$ の座標を $(x, y)$ とする。$AP^2 + BP^2 = 18$ である。

$AP^2 = (x-1)^2 + (y-4)^2$

$BP^2 = (x+1)^2 + (y-0)^2$

$(x-1)^2 + (y-4)^2 + (x+1)^2 + y^2 = 18$

$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 8y + 16 + x^2 + 2x + 1 + y^2 = 18$

$2x^2 + 2y^2 - 8y + 18 = 18$

$2x^2 + 2y^2 - 8y = 0$

$x^2 + y^2 - 4y = 0$

$x^2 + (y-2)^2 - 4 = 0$

$x^2 + (y-2)^2 = 4$

これは円の方程式で、中心は $(0, 2)$、半径は2である。

3. 最終的な答え

(1) $OP:AP=1:1$ のとき、直線の方程式は $x = \frac{3}{2}$

$OP:AP=1:2$ のとき、円の方程式は $(x+1)^2 + y^2 = 4$

(2) $AP^2 + BP^2 = 18$ を満たす点 $P$ の軌跡は、円 $x^2 + (y-2)^2 = 4$ である。