直線 $l: y = x+2$ と $m: y = -2x+8$ がある。Aは $l$ と $m$ の交点、Bは $x$ 軸上にあり、Aと $x$ 座標が等しい点である。また、直線 $n: x = k$ （$k > 2$）がある。P, Q, R は、それぞれ直線 $l$, $m$, $x$ 軸と $n$ の交点である。 (1) 点Aの座標を求める。 (2) 線分 BR, PQ の長さについて、$PQ = 3BR$ であることを証明する。

1. 問題の内容

直線 $l: y = x+2$ と $m: y = -2x+8$ がある。Aは $l$ と $m$ の交点、Bは $x$ 軸上にあり、Aと $x$ 座標が等しい点である。また、直線 $n: x = k$ （$k > 2$）がある。P, Q, R は、それぞれ直線 $l$, $m$, $x$ 軸と $n$ の交点である。

(1) 点Aの座標を求める。

(2) 線分 BR, PQ の長さについて、$PQ = 3BR$ であることを証明する。

2. 解き方の手順

(1) 点Aは2直線 $l$ と $m$ の交点なので、連立方程式を解く。

$y = x+2$

$y = -2x+8$

上式と下式をイコールで結び、$x+2 = -2x+8$

$3x = 6$

$x = 2$

$y = x+2 = 2+2 = 4$

したがって、Aの座標は $(2, 4)$

(2) 点Bの座標は A の $x$ 座標と同じなので、$(2, 0)$。

点Rの座標は直線 $n: x=k$ と $x$ 軸との交点なので、$(k, 0)$。

したがって、$BR = k - 2$

点Pの座標は直線 $l: y=x+2$ と直線 $n: x=k$ の交点なので、$(k, k+2)$。

点Qの座標は直線 $m: y=-2x+8$ と直線 $n: x=k$ の交点なので、$(k, -2k+8)$。

したがって、$PQ = (k+2) - (-2k+8) = k+2+2k-8 = 3k - 6 = 3(k-2)$

$PQ = 3(k-2) = 3BR$

3. 最終的な答え

(1) A $(2, 4)$

(2) 線分 $BR = k - 2$

線分 $PQ = 3(k - 2)$

よって、$PQ = 3BR$ が証明された。