第2項が12で、初項から第3項までの和が63である等比数列 $\{a_n\}$ の第4項を求める問題です。

1. 問題の内容

第2項が12で、初項から第3項までの和が63である等比数列 $\{a_n\}$ の第4項を求める問題です。

2. 解き方の手順

等比数列の初項を $a$、公比を $r$ とします。

* 第2項が12であることから、

$ar = 12$。　　　(1)

* 初項から第3項までの和が63であることから、

$a + ar + ar^2 = 63$。　　　(2)

(1)より、$a = \frac{12}{r}$。これを(2)に代入して、

$\frac{12}{r} + 12 + 12r = 63$。

両辺に $r$ を掛けて、

$12 + 12r + 12r^2 = 63r$。

$12r^2 - 51r + 12 = 0$。

両辺を3で割って、

$4r^2 - 17r + 4 = 0$。

因数分解すると、

$(4r - 1)(r - 4) = 0$。

よって、$r = \frac{1}{4}$ または $r = 4$。

(i) $r = \frac{1}{4}$ のとき、(1)より $a = \frac{12}{1/4} = 48$。

このとき、第4項 $a_4 = ar^3 = 48 \cdot (\frac{1}{4})^3 = 48 \cdot \frac{1}{64} = \frac{3}{4}$。

(ii) $r = 4$ のとき、(1)より $a = \frac{12}{4} = 3$。

このとき、第4項 $a_4 = ar^3 = 3 \cdot 4^3 = 3 \cdot 64 = 192$。

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4}$ または $192$