$\sum_{k=1}^{n} (2k-1)(k+3)$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (2k-1)(k+3)$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、シグマの中身を展開します。

$(2k-1)(k+3) = 2k^2 + 6k - k - 3 = 2k^2 + 5k - 3$

したがって、求める和は

$\sum_{k=1}^{n} (2k^2 + 5k - 3)$

シグマを分解すると、

$2 \sum_{k=1}^{n} k^2 + 5 \sum_{k=1}^{n} k - 3 \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

これらの公式を代入すると、

$2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 5 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - 3n$

$=\frac{n(n+1)(2n+1)}{3} + \frac{5n(n+1)}{2} - 3n$

$= \frac{2n(n+1)(2n+1) + 15n(n+1) - 18n}{6}$

$= \frac{n(2(n+1)(2n+1) + 15(n+1) - 18)}{6}$

$= \frac{n(2(2n^2 + 3n + 1) + 15n + 15 - 18)}{6}$

$= \frac{n(4n^2 + 6n + 2 + 15n - 3)}{6}$

$= \frac{n(4n^2 + 21n - 1)}{6}$

$= \frac{4n^3 + 21n^2 - n}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{4n^3 + 21n^2 - n}{6}$