与えられた数列 $\{a_n\}$: 1, 3, 7, 15, 31, ... の一般項を求める問題です。一般項は $a_n = 6^n - 7$ の形式であることが与えられています。

1. 問題の内容

与えられた数列 $\{a_n\}$: 1, 3, 7, 15, 31, ... の一般項を求める問題です。一般項は $a_n = 6^n - 7$ の形式であることが与えられています。

2. 解き方の手順

与えられた数列の各項は、それぞれ

$a_1 = 1$

$a_2 = 3$

$a_3 = 7$

$a_4 = 15$

$a_5 = 31$

となっています。これらの項を2の累乗を使って表すと、

$a_1 = 2^1 - 1 = 1$

$a_2 = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$

$a_3 = 2^3 - 1 = 8 - 1 = 7$

$a_4 = 2^4 - 1 = 16 - 1 = 15$

$a_5 = 2^5 - 1 = 32 - 1 = 31$

となります。

したがって、数列の一般項は

$a_n = 2^n - 1$

であることがわかります。

問題文に$a_n = 6^n - 7$ の形式で表すという指定があるので、問題文の指示がおかしい可能性があります。

もし、数列の一般項が $a_n = c \cdot r^n - d$ の形であると仮定し、初項と第2項の条件から $c, r, d$ を決定することを試みます。

$a_1 = c \cdot r - d = 1$

$a_2 = c \cdot r^2 - d = 3$

$a_3 = c \cdot r^3 - d = 7$

$a_2 - a_1 = cr^2 - cr = 3-1 = 2$

$cr(r-1) = 2$

$a_3 - a_2 = cr^3 - cr^2 = 7-3 = 4$

$cr^2(r-1) = 4$

$(cr^2(r-1))/(cr(r-1)) = 4/2 = 2$

$r = 2$

$2c(2-1) = 2$

$2c = 2$

$c = 1$

$1 \cdot 2 - d = 1$

$2-d=1$

$d=1$

したがって $a_n = 2^n - 1$ となります。

元の数列は初項が1で、階差数列が2,4,8,16,...という等比数列であるため、$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k$と表すことができます。等比数列の和の公式より、

$a_n = 1 + \frac{2(2^{n-1}-1)}{2-1} = 1 + 2^n - 2 = 2^n - 1$となります。

問題の意図とは異なる可能性がありますが、数列の一般項は$a_n = 2^n - 1$となります。

3. 最終的な答え

$a_n = 2^n - 1$

問題の形式に従うと、6には2、7には1が入ります。

$a_n = 2^n - 1$