正の整数の列を、第 $n$ 群に $3n-1$ 個の整数が入るように群に分ける。第4群の最後の数を求める。

1. 問題の内容

正の整数の列を、第 $n$ 群に $3n-1$ 個の整数が入るように群に分ける。第4群の最後の数を求める。

2. 解き方の手順

第 $n$ 群に含まれる整数の個数は $3n-1$ 個である。

第 $n$ 群の最後の数を求めるためには、第1群から第 $n$ 群までに含まれる整数の個数の合計を計算する必要がある。

第1群から第 $n$ 群までの整数の個数の合計を $S_n$ とすると、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (3k-1) = 3 \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1 = 3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - n = \frac{3n(n+1)}{2} - \frac{2n}{2} = \frac{3n^2+3n-2n}{2} = \frac{3n^2+n}{2}$

したがって、$S_n = \frac{3n^2+n}{2}$ である。

第4群の最後の数を求めるには、$S_4$ を計算すれば良い。

$S_4 = \frac{3 \cdot 4^2 + 4}{2} = \frac{3 \cdot 16 + 4}{2} = \frac{48+4}{2} = \frac{52}{2} = 26$

第4群の最後の数は26である。

3. 最終的な答え

26