正の整数の列を、第n群に $3n-1$ 個の整数が入るように群に分ける。 (1) 第4群の最後の数を求める。 (2) 第5群のすべての数の和を求める。

1. 問題の内容

正の整数の列を、第n群に $3n-1$ 個の整数が入るように群に分ける。

(1) 第4群の最後の数を求める。

(2) 第5群のすべての数の和を求める。

2. 解き方の手順

(1) 第n群の最後の数を $a_n$ とする。$a_n$ は、第1群から第n群までの整数の個数の和である。

第n群には $3n-1$ 個の整数が含まれるので、

$$a_n = \sum_{k=1}^{n} (3k-1) = 3 \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1 = 3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - n = \frac{3n^2+3n-2n}{2} = \frac{3n^2+n}{2}$$

第4群の最後の数は、$a_4$である。

$$a_4 = \frac{3 \cdot 4^2 + 4}{2} = \frac{3 \cdot 16 + 4}{2} = \frac{48+4}{2} = \frac{52}{2} = 26$$

(2) 第n群の最初の数を $b_n$ とする。$b_n$ は $a_{n-1} + 1$ である。

第5群の最初の数は、$b_5 = a_4 + 1 = 26 + 1 = 27$

第5群の最後の数は、$a_5 = \frac{3 \cdot 5^2 + 5}{2} = \frac{3 \cdot 25 + 5}{2} = \frac{75+5}{2} = \frac{80}{2} = 40$

第5群の項数は $3 \cdot 5 - 1 = 15 - 1 = 14$ である。

第5群の和は、等差数列の和の公式を使って求める。

$$S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)$$

第5群の和は、

$$S_{14} = \frac{14}{2} (27+40) = 7 \cdot 67 = 469$$

3. 最終的な答え

(1) 26

(2) 469