正の整数の列を、第$n$群に$3n-1$個の整数が入るように群に分ける。 (1) 第4群の最後の数を求める。 (2) 第5群のすべての数の和を求める。 (3) 54が第何群の何番目の数かを求める。

1. 問題の内容

正の整数の列を、第$n$群に$3n-1$個の整数が入るように群に分ける。

(1) 第4群の最後の数を求める。

(2) 第5群のすべての数の和を求める。

(3) 54が第何群の何番目の数かを求める。

2. 解き方の手順

(1) 第$n$群の最後の数は、第1群から第$n$群までの整数の個数の合計である。

第$n$群までの整数の個数の合計を$S_n$とすると、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (3k-1) = 3\sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1 = 3\frac{n(n+1)}{2} - n = \frac{3n^2+3n-2n}{2} = \frac{3n^2+n}{2}$

したがって、第4群の最後の数は、

$S_4 = \frac{3 \cdot 4^2 + 4}{2} = \frac{3 \cdot 16 + 4}{2} = \frac{48+4}{2} = \frac{52}{2} = 26$

(2) 第5群の最初の数は、第4群の最後の数の次の数なので、$26+1=27$。

第5群に含まれる整数の個数は $3 \cdot 5 - 1 = 15 - 1 = 14$個。

第5群の最後の数は、第5群の最初の数に $(14-1)$ を加えた数なので、$27 + 13 = 40$。

第5群の和は、等差数列の和の公式を用いて、

$\frac{\text{項数}}{2} (\text{最初の数} + \text{最後の数})$で計算できる。

よって、第5群の和は $\frac{14}{2} (27 + 40) = 7 \cdot 67 = 469$

(3) 54が第$n$群にあるとする。

まず、$S_n = \frac{3n^2+n}{2} \geq 54$となる最小の$n$を求める。

$3n^2 + n \geq 108$

$3n^2 + n - 108 \geq 0$

$n=6$ のとき $3 \cdot 36 + 6 - 108 = 108 + 6 - 108 = 6 > 0$

$n=5$ のとき $3 \cdot 25 + 5 - 108 = 75 + 5 - 108 = -28 < 0$

したがって、54は第6群にある。

第5群の最後の数は$S_5 = \frac{3 \cdot 25 + 5}{2} = \frac{75+5}{2} = \frac{80}{2} = 40$

第6群の最初の数は41。

54は第6群の$54 - 40 = 14$番目の数である。

3. 最終的な答え

(1) 26

(2) 469

(3) 第6群の14番目