1つのサイコロを1の目が2回出るまで投げる。ちょうど4回投げて終了する確率を求めよ。

1. 問題の内容

1つのサイコロを1の目が2回出るまで投げる。ちょうど4回投げて終了する確率を求めよ。

2. 解き方の手順

ちょうど4回で終了するということは、4回目の試行で2回目の1の目が出なければならない。したがって、最初の3回の試行で1の目が1回だけ出て、4回目に1の目が出ればよい。

まず、1の目が出る確率は $1/6$、1の目が出ない確率は $5/6$ である。

最初の3回で1の目が1回だけ出る確率は、以下の通りである。

3回のうちどの回で1の目が出るかで場合分けすると、

${}_3C_1 (\frac{1}{6}) (\frac{5}{6})^2 = 3 \times \frac{1}{6} \times \frac{25}{36} = \frac{75}{216}$

次に、4回目に1の目が出る確率は $1/6$ である。

したがって、ちょうど4回で終了する確率は、最初の3回で1の目が1回だけ出て、4回目に1の目が出る確率を掛け合わせればよい。

$\frac{75}{216} \times \frac{1}{6} = \frac{75}{1296} = \frac{25}{432}$

3. 最終的な答え

$\frac{25}{432}$