与えられた3つの関数を微分せよ。 (1) $y = \frac{1}{2}x(\log(3x)-1)$ (2) $y = e^{2x} \cos^2 x$ (3) $y = \frac{\sqrt{x}}{2} e^{x^2+2x}$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数を微分せよ。

(1) $y = \frac{1}{2}x(\log(3x)-1)$

(2) $y = e^{2x} \cos^2 x$

(3) $y = \frac{\sqrt{x}}{2} e^{x^2+2x}$

2. 解き方の手順

(1)

$y = \frac{1}{2}x(\log(3x)-1)$ を微分する。積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いる。ここで $u = \frac{1}{2}x$ 、$v = \log(3x)-1$ とおく。

$u' = \frac{1}{2}$

$v' = \frac{1}{3x} \cdot 3 = \frac{1}{x}$

したがって、

$y' = \frac{1}{2}(\log(3x)-1) + \frac{1}{2}x \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{2}\log(3x) - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\log(3x)$

(2)

$y = e^{2x} \cos^2 x$ を微分する。積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いる。ここで $u = e^{2x}$ 、$v = \cos^2 x$ とおく。

$u' = 2e^{2x}$

$v' = 2\cos x (-\sin x) = -2\sin x \cos x$

したがって、

$y' = 2e^{2x} \cos^2 x + e^{2x} (-2\sin x \cos x) = 2e^{2x} \cos^2 x - 2e^{2x} \sin x \cos x = 2e^{2x} \cos x (\cos x - \sin x)$

(3)

$y = \frac{\sqrt{x}}{2} e^{x^2+2x}$ を微分する。積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いる。ここで $u = \frac{\sqrt{x}}{2} = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}}$ 、$v = e^{x^2+2x}$ とおく。

$u' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{4} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{4\sqrt{x}}$

$v' = (2x+2)e^{x^2+2x}$

したがって、

$y' = \frac{1}{4\sqrt{x}} e^{x^2+2x} + \frac{\sqrt{x}}{2} (2x+2) e^{x^2+2x} = e^{x^2+2x} (\frac{1}{4\sqrt{x}} + \frac{2x\sqrt{x}}{2} + \frac{2\sqrt{x}}{2}) = e^{x^2+2x} (\frac{1}{4} x^{-\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}}) = e^{x^2+2x} (\frac{1}{4} x^{-\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}})$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{1}{2}\log(3x)$

(2) $y' = 2e^{2x} \cos x (\cos x - \sin x)$

(3) $y' = e^{x^2+2x}(\frac{1}{4}x^{-\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}})$

あるいは、$y'= e^{x^2+2x}(\frac{1}{4\sqrt{x}} + \sqrt{x} + x\sqrt{x})$