曲線 $y = \frac{1}{x}$ と直線 $y = -\frac{1}{5}x + \frac{6}{5}$ の交点の $x$ 座標を求め、その後、これらの曲線と直線で囲まれた図形の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = \frac{1}{x}$ と直線 $y = -\frac{1}{5}x + \frac{6}{5}$ の交点の $x$ 座標を求め、その後、これらの曲線と直線で囲まれた図形の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = \frac{1}{x}$ と $y = -\frac{1}{5}x + \frac{6}{5}$ の交点の $x$ 座標を求めます。

$\frac{1}{x} = -\frac{1}{5}x + \frac{6}{5}$

両辺に $5x$ をかけると

$5 = -x^2 + 6x$

$x^2 - 6x + 5 = 0$

$(x-1)(x-5) = 0$

したがって、$x=1, 5$ となります。

次に、これらの曲線と直線で囲まれた図形の面積を求めます。

面積 $S$ は、

$S = \int_{1}^{5} (-\frac{1}{5}x + \frac{6}{5} - \frac{1}{x}) dx$

$S = [-\frac{1}{10}x^2 + \frac{6}{5}x - \ln|x|]_1^5$

$S = (-\frac{1}{10}(5)^2 + \frac{6}{5}(5) - \ln|5|) - (-\frac{1}{10}(1)^2 + \frac{6}{5}(1) - \ln|1|)$

$S = (-\frac{25}{10} + 6 - \ln 5) - (-\frac{1}{10} + \frac{6}{5} - 0)$

$S = (-\frac{5}{2} + 6 - \ln 5) - (-\frac{1}{10} + \frac{12}{10})$

$S = \frac{7}{2} - \ln 5 - \frac{11}{10}$

$S = \frac{35}{10} - \frac{11}{10} - \ln 5$

$S = \frac{24}{10} - \ln 5$

$S = \frac{12}{5} - \ln 5$

面積は $\frac{12}{5} - \log 5$ となります。問題文にある面積の形に合わせると $\frac{3 \times 4}{5} - \log 5$です。

3. 最終的な答え

x = 1, 5 (1 < 5)

$\frac{12}{5} - \log 5 = \frac{3 \times 4}{5} - \log 5$