曲線 $y = \frac{1}{x}$ と直線 $y = -\frac{1}{5}x + \frac{6}{5}$ の交点の $x$ 座標を求め、その後、これらの曲線と直線で囲まれた図形の面積を求める問題です。

解析学積分面積曲線交点対数関数
2025/4/12

1. 問題の内容

曲線 y=1xy = \frac{1}{x} と直線 y=15x+65y = -\frac{1}{5}x + \frac{6}{5} の交点の xx 座標を求め、その後、これらの曲線と直線で囲まれた図形の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、y=1xy = \frac{1}{x}y=15x+65y = -\frac{1}{5}x + \frac{6}{5} の交点の xx 座標を求めます。
1x=15x+65\frac{1}{x} = -\frac{1}{5}x + \frac{6}{5}
両辺に 5x5x をかけると
5=x2+6x5 = -x^2 + 6x
x26x+5=0x^2 - 6x + 5 = 0
(x1)(x5)=0(x-1)(x-5) = 0
したがって、x=1,5x=1, 5 となります。
次に、これらの曲線と直線で囲まれた図形の面積を求めます。
面積 SS は、
S=15(15x+651x)dxS = \int_{1}^{5} (-\frac{1}{5}x + \frac{6}{5} - \frac{1}{x}) dx
S=[110x2+65xlnx]15S = [-\frac{1}{10}x^2 + \frac{6}{5}x - \ln|x|]_1^5
S=(110(5)2+65(5)ln5)(110(1)2+65(1)ln1)S = (-\frac{1}{10}(5)^2 + \frac{6}{5}(5) - \ln|5|) - (-\frac{1}{10}(1)^2 + \frac{6}{5}(1) - \ln|1|)
S=(2510+6ln5)(110+650)S = (-\frac{25}{10} + 6 - \ln 5) - (-\frac{1}{10} + \frac{6}{5} - 0)
S=(52+6ln5)(110+1210)S = (-\frac{5}{2} + 6 - \ln 5) - (-\frac{1}{10} + \frac{12}{10})
S=72ln51110S = \frac{7}{2} - \ln 5 - \frac{11}{10}
S=35101110ln5S = \frac{35}{10} - \frac{11}{10} - \ln 5
S=2410ln5S = \frac{24}{10} - \ln 5
S=125ln5S = \frac{12}{5} - \ln 5
面積は 125log5\frac{12}{5} - \log 5 となります。問題文にある面積の形に合わせると 3×45log5\frac{3 \times 4}{5} - \log 5です。

3. 最終的な答え

x = 1, 5 (1 < 5)
125log5=3×45log5\frac{12}{5} - \log 5 = \frac{3 \times 4}{5} - \log 5

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