問題3の(1)で示された不等式を使って、$\log_2$の値を小数第2位まで求める。問題3の冒頭には、$B(p, q) = \int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx$と定義されています。

問題3の(2)と、問題の冒頭にある情報を使って、$\log_2$ の値を小数第2位まで求める問題です。

1. 問題の内容

問題3の(1)で示された不等式を使って、$\log_2$の値を小数第2位まで求める。問題3の冒頭には、$B(p, q) = \int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx$と定義されています。

2. 解き方の手順

まず、$B(p, q)$の定義式において、$p=1, q=1$とすると、

$B(1,1) = \int_0^1 x^0(1-x)^0 dx = \int_0^1 1 dx = [x]_0^1 = 1$

また、問題3の(2)で示された式において、$m=n=1$とすると、

$B(1, 1) = \frac{(1-1)!(1-1)!}{(1+1-1)!} = \frac{0!0!}{1!} = \frac{1 \cdot 1}{1} = 1$

となり、整合性が取れています。

次に、問題文にある「(1)の不等式」が意味不明なので、問題3の(1)の式を用いると仮定します。

$B(p, q) = \frac{q-1}{p}B(p+1, q-1)$

この式を繰り返し用いて、$q=1$になるまで変形することを考えます。

$B(p, q) = \frac{q-1}{p}B(p+1, q-1) = \frac{q-1}{p} \cdot \frac{q-2}{p+1} B(p+2, q-2) = \dots = \frac{(q-1)!}{\prod_{k=0}^{q-2} (p+k)} B(p+q-1, 1)$

$B(p+q-1, 1) = \int_0^1 x^{p+q-2}(1-x)^0 dx = \int_0^1 x^{p+q-2} dx = [\frac{x^{p+q-1}}{p+q-1}]_0^1 = \frac{1}{p+q-1}$

したがって、$B(p,q) = \frac{(q-1)!}{(p)(p+1)\dots(p+q-2)} \cdot \frac{1}{p+q-1} = \frac{(p-1)!(q-1)!}{(p+q-1)!} (p+q-1) = \frac{(p-1)!(q-1)!}{(p+q-1)!}$

このとき、$B(p,q) = \int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx = \frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$ が知られています。ここで、$\Gamma(x)$ はガンマ関数です。

特に、$p, q$が整数のときには、$\Gamma(n) = (n-1)!$ が成り立ちます。

さて、$\log_2$の値を求めるためには、この$B(p, q)$をどのように使うかが問題です。

$x = \frac{1}{2}$を代入することを考えます。

$B(p, q) = \int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx$なので、被積分関数がどのような値になるかを考えます。

$\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx$ という積分を、具体的に計算することが困難です。

問題文に「(1)の不等式を用いて」とありますが、不等式が見当たらないため、この条件を満たす解法を見つけることができません。

問題文に誤植があるか、問題3(1)以外の不等式を用いることを想定していると考えられます。

したがって、この問題は現時点では解くことができません。

3. 最終的な答え

解なし