図のような道のある地域で、次の3つの条件における最短の道順の数を求める問題です。 (1) AからBまで行く。 (2) AからCを通ってBまで行く。 (3) AからCを通らずにBまで行く。

1. 問題の内容

図のような道のある地域で、次の3つの条件における最短の道順の数を求める問題です。

(1) AからBまで行く。

(2) AからCを通ってBまで行く。

(3) AからCを通らずにBまで行く。

2. 解き方の手順

(1) AからBまで行く場合

AからBまでの最短経路は、右に5回、上に3回移動することで到達します。したがって、全8回の移動のうち、右方向への移動5回を選ぶ組み合わせの数で求めることができます。

これは組み合わせの公式で計算できます。

$_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

この場合、$n = 8$、$r = 5$なので、

$_8C_5 = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$通りとなります。

(2) AからCを通ってBまで行く場合

まず、AからCまでの最短経路数を求めます。AからCまでは、右に2回、上に1回移動します。

$_3C_2 = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$通り

次に、CからBまでの最短経路数を求めます。CからBまでは、右に3回、上に2回移動します。

$_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通り

AからCを通ってBまで行く経路数は、AからCまでの経路数とCからBまでの経路数の積で求められます。

$3 \times 10 = 30$通り

(3) AからCを通らずにBまで行く場合

AからBまでの経路数からAからCを通ってBまで行く経路数を引けば、AからCを通らずにBまで行く経路数が求められます。

$56 - 30 = 26$通り

3. 最終的な答え

(1) AからBまで行く場合の最短経路数は56通り。

(2) AからCを通ってBまで行く場合の最短経路数は30通り。

(3) AからCを通らずにBまで行く場合の最短経路数は26通り。