関数 $f(x)$ が次のように定義されているとき、$y = f(x)$ のグラフを描く問題です。 $f(x) = \begin{cases} x^2 & (0 \le x < 2) \\ -x^2 + 4x & (2 \le x \le 4) \end{cases}$

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が次のように定義されているとき、$y = f(x)$ のグラフを描く問題です。

$f(x) = \begin{cases}

x^2 & (0 \le x < 2) \\

-x^2 + 4x & (2 \le x \le 4)

\end{cases}$

2. 解き方の手順

まず、$x$ の範囲によって関数が異なることに注意します。

- $0 \le x < 2$ のとき、$f(x) = x^2$ なので、これは放物線 $y = x^2$ の一部です。$x=0$ のとき $f(0)=0$ であり、$x=2$ に近づくにつれて $f(x)$ は $2^2 = 4$ に近づきます。ただし、$x=2$ はこの範囲に含まれないので、$x=2$ の点はグラフに含みません。

- $2 \le x \le 4$ のとき、$f(x) = -x^2 + 4x$ なので、これは放物線 $y = -x^2 + 4x$ の一部です。この放物線を平方完成すると、

$y = -(x^2 - 4x) = -(x^2 - 4x + 4 - 4) = -(x-2)^2 + 4$

となり、頂点が $(2, 4)$ である上に凸の放物線であることがわかります。$x=2$ のとき $f(2) = -2^2 + 4(2) = -4 + 8 = 4$ であり、$x=4$ のとき $f(4) = -4^2 + 4(4) = -16 + 16 = 0$ です。

以上の情報を基に、$y = f(x)$ のグラフを描きます。

3. 最終的な答え

グラフは以下のようになります。

- $0 \le x < 2$ の範囲では、$y = x^2$ のグラフを描きます。$x=0$ で $y=0$ であり、$x=2$ に近づくにつれて $y$ は $4$ に近づきます。ただし、$x=2$ の点は含みません。

- $2 \le x \le 4$ の範囲では、$y = -x^2 + 4x$ のグラフを描きます。これは頂点が $(2, 4)$ である上に凸の放物線であり、$x=2$ で $y=4$、$x=4$ で $y=0$ となります。

（グラフの図をここに描くことはできません）