(6) 2点 $(-1, -11)$, $(2, 10)$ を通る直線の式を求めます。 (7) 直角三角形 ABC において、$\angle C = 90^\circ$, $BC = 4$ cm, $AC = 8$ cm のとき、斜辺 AB の長さを求めます。 (8) $25x^2 - 30xy + 9y^2$ を因数分解します。

以下に問題 (6), (7), (8) の解答を示します。

1. 問題の内容

(6) 2点 $(-1, -11)$, $(2, 10)$ を通る直線の式を求めます。

(7) 直角三角形 ABC において、$\angle C = 90^\circ$, $BC = 4$ cm, $AC = 8$ cm のとき、斜辺 AB の長さを求めます。

(8) $25x^2 - 30xy + 9y^2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

(6)

まず、直線の式を $y = ax + b$ とおきます。

2点 $(-1, -11)$ と $(2, 10)$ を通るので、以下の連立方程式が成り立ちます。

$-11 = a(-1) + b$

$10 = a(2) + b$

これを解きます。

一つ目の式から、$b = a - 11$ を得ます。

これを二つ目の式に代入すると、

$10 = 2a + a - 11$

$3a = 21$

$a = 7$

したがって、$b = 7 - 11 = -4$

よって、求める直線の式は $y = 7x - 4$ です。

(7)

三平方の定理より、$AB^2 = AC^2 + BC^2$ が成り立ちます。

$AC = 8$ cm, $BC = 4$ cm なので、

$AB^2 = 8^2 + 4^2 = 64 + 16 = 80$

$AB = \sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4\sqrt{5}$ cm

(8)

$25x^2 - 30xy + 9y^2$ を因数分解します。

この式は $(5x)^2 - 2(5x)(3y) + (3y)^2$ と変形できるので、$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ の公式を利用できます。

したがって、

$25x^2 - 30xy + 9y^2 = (5x - 3y)^2$

となります。

3. 最終的な答え

(6) $y = 7x - 4$

(7) $4\sqrt{5}$ cm

(8) $(5x - 3y)^2$