1辺が3cmの小さい正三角形、1辺が6cmの大きい正三角形と正六角形がある。小さい正三角形を大きい正三角形と正六角形の辺上を滑らずに回転させる。 (1) 図2で、小さい正三角形が大きい正三角形の頂点を越えるとき、点Aがその頂点を中心に何度回転したかを求める。 (2) 小さい正三角形が大きい正三角形の辺上を元の位置に戻るまで回転するとき、小さい正三角形が通ってできる図形の外周の長さを求める。 (3) 小さい正三角形が正六角形の辺上を元の位置に戻るまで回転するとき、小さい正三角形が通ってできる図形の外周の長さと(2)の外周の長さの差を求める。ただし、円周率は3.14とする。

1. 問題の内容

1辺が3cmの小さい正三角形、1辺が6cmの大きい正三角形と正六角形がある。小さい正三角形を大きい正三角形と正六角形の辺上を滑らずに回転させる。

(1) 図2で、小さい正三角形が大きい正三角形の頂点を越えるとき、点Aがその頂点を中心に何度回転したかを求める。

(2) 小さい正三角形が大きい正三角形の辺上を元の位置に戻るまで回転するとき、小さい正三角形が通ってできる図形の外周の長さを求める。

(3) 小さい正三角形が正六角形の辺上を元の位置に戻るまで回転するとき、小さい正三角形が通ってできる図形の外周の長さと(2)の外周の長さの差を求める。ただし、円周率は3.14とする。

2. 解き方の手順

(1) 図2において、小さい正三角形が、大きい正三角形の頂点を越えるとき、点Aは小さい正三角形の頂点を中心に回転する。大きい正三角形の一つの内角は60度なので、点Aは$180 - 60 = 120$ 度回転する。

(2) 小さい正三角形が大きい正三角形の辺上を元の位置に戻るまで回転するとき、小さい正三角形が通ってできる図形は、大きい正三角形の各頂点を中心とする扇形3つと、小さい正三角形の辺3つから構成される。扇形の半径は3cmであり、中心角はそれぞれ$180 - 60 = 120$ 度である。3つの扇形の弧の長さの合計は、半径3cmの円の円周に等しく、$2 \times 3.14 \times 3 = 18.84$ cm。小さい正三角形の辺の長さの合計は、$3 \times 3 = 9$ cm。したがって、外周の長さは $18.84 + 9 = 27.84$ cm。

(3) 小さい正三角形が正六角形の辺上を元の位置に戻るまで回転するとき、小さい正三角形が通ってできる図形は、正六角形の各頂点を中心とする扇形6つと、小さい正三角形の辺6つから構成される。扇形の半径は3cmであり、中心角はそれぞれ$180 - 120 = 60$ 度である（正六角形の内角は120度）。6つの扇形の弧の長さの合計は、半径3cmの円の円周に等しく、$2 \times 3.14 \times 3 = 18.84$ cm。小さい正三角形の辺の長さの合計は、$6 \times 3 = 18$ cm。したがって、外周の長さは $18.84 + 18 = 36.84$ cm。

(2)の外周の長さは27.84cmであるから、その差は$36.84 - 27.84 = 9$ cm。

3. 最終的な答え

(1) 120度

(2) 27.84 cm

(3) 9 cm