扇形OAB（中心角 $\frac{\pi}{3}$, 半径1）に内接する長方形PQRSを考える。 (1) $\angle AOP = \theta$ とするとき、RSの長さを $\theta$ を用いて表す。 (2) 長方形PQRSの面積Sの最大値とそのときの $\theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

扇形OAB（中心角 $\frac{\pi}{3}$, 半径1）に内接する長方形PQRSを考える。

(1) $\angle AOP = \theta$ とするとき、RSの長さを $\theta$ を用いて表す。

(2) 長方形PQRSの面積Sの最大値とそのときの $\theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、OSの長さを求める。

$OS = OA \cos\theta = \cos\theta$

したがって、$RS = OS = \cos\theta$

(2)

次に、SPの長さを求める。

$\angle AOB = \frac{\pi}{3}$より、$\angle BOP = \frac{\pi}{3} - \theta$

$OP = OA = 1$なので、$PQ = SP = OP \sin(\frac{\pi}{3} - \theta)$

$PQ = \sin(\frac{\pi}{3} - \theta)$

したがって、面積Sは、$S = RS \cdot SP = \cos\theta \cdot \sin(\frac{\pi}{3} - \theta)$

$S = \cos\theta \sin(\frac{\pi}{3} - \theta) = \frac{1}{2} \left[ \sin(\frac{\pi}{3} - \theta + \theta) - \sin(\theta - (\frac{\pi}{3} - \theta)) \right]$

$S = \frac{1}{2} \left[ \sin(\frac{\pi}{3}) - \sin(2\theta - \frac{\pi}{3}) \right]$

$S = \frac{1}{2} \left[ \frac{\sqrt{3}}{2} - \sin(2\theta - \frac{\pi}{3}) \right]$

Sが最大になるのは、$\sin(2\theta - \frac{\pi}{3})$が最小のときである。

$-1 \le \sin(2\theta - \frac{\pi}{3}) \le 1$

$\sin(2\theta - \frac{\pi}{3}) = -1$のとき、Sは最大となる。

$2\theta - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2}$

$2\theta = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{6}$

$\theta = -\frac{\pi}{12}$

しかし、$0 < \theta < \frac{\pi}{3}$ であるから、これは不適。

$\sin(2\theta - \frac{\pi}{3}) = -1$となるとき、$2\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$

$2\theta = \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + 2n\pi = \frac{11\pi}{6} + 2n\pi$

$\theta = \frac{11\pi}{12} + n\pi$

これも $0 < \theta < \frac{\pi}{3}$ に適さない。

$\theta > 0$ より、$2\theta - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2}$ はない

$\sin(2\theta - \frac{\pi}{3})$が最小になるのは、$\theta$ の範囲を考慮すると、$\theta = \frac{\pi}{3}$に近いとき

しかし、$\theta < \frac{\pi}{3}$である

$0 < \theta < \frac{\pi}{3}$

$-\frac{\pi}{3} < 2\theta - \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{3}$

$- \frac{\sqrt{3}}{2} < \sin(2\theta - \frac{\pi}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin(2\theta - \frac{\pi}{3}) = -1$ はない。

$2\theta - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{3\pi}{2} > \frac{\pi}{3} \times 2$

$2\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$

$2\theta = \frac{5\pi}{6}$

$\theta = \frac{5\pi}{12}$

$\theta \in (0, \frac{\pi}{3})$

Sが最大となるのは、$2\theta - \frac{\pi}{3}=0$のとき。

$2\theta = \frac{\pi}{3}$

$\theta = \frac{\pi}{6}$

このとき、$S = \frac{1}{2} \left[ \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 \right] = \frac{\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $RS = \cos\theta$

(2) $S = \frac{\sqrt{3}}{4}$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{6}$