定積分 $\int_{-1}^{2} (x-1)(x+2) dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{2} (x-1)(x+2) dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、積分する関数を展開します。

$(x-1)(x+2) = x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2$

次に、不定積分を求めます。

$\int (x^2 + x - 2) dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 2x + C$

ここで、定積分を計算するために、上記の不定積分に積分区間の上限と下限を代入し、その差を求めます。

$\int_{-1}^{2} (x^2 + x - 2) dx = [\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 2x]_{-1}^{2}$

$x = 2$ を代入すると：

$\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} - 2(2) = \frac{8}{3} + \frac{4}{2} - 4 = \frac{8}{3} + 2 - 4 = \frac{8}{3} - 2 = \frac{8}{3} - \frac{6}{3} = \frac{2}{3}$

$x = -1$ を代入すると：

$\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} - 2(-1) = -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 2 = -\frac{2}{6} + \frac{3}{6} + \frac{12}{6} = \frac{13}{6}$

定積分の値は、上限での値から下限での値を引いたものです。

$\frac{2}{3} - \frac{13}{6} = \frac{4}{6} - \frac{13}{6} = -\frac{9}{6} = -\frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{3}{2}$