$3a+4b+5c=0$ のとき、以下の4つの等式のうち常に成り立つものを選ぶ問題です。 1. $ab(3a+4b)-bc(4b+5c)-ac(3a+5c)+2abc = 0$

1. 問題の内容

$3a+4b+5c=0$ のとき、以下の4つの等式のうち常に成り立つものを選ぶ問題です。

1. $ab(3a+4b)-bc(4b+5c)-ac(3a+5c)+2abc = 0$

2. $ab(3a+4b)+bc(4b+5c)+ac(3a+5c)+12abc = 0$

3. $ab(3a+4b)+bc(4b+5c)-ac(3a+5c)+3abc = 0$

4. $ab(3a+4b)-bc(4b+5c)+ac(3a+5c)+12abc = 0$

2. 解き方の手順

$3a+4b+5c=0$という条件を使い、各選択肢の式を変形して、0になるかどうかを確かめます。

選択肢1:

$ab(3a+4b)-bc(4b+5c)-ac(3a+5c)+2abc = 3a^2b + 4ab^2 - 4b^2c - 5bc^2 - 3a^2c - 5ac^2 + 2abc$

$3a = -4b - 5c$ を代入すると、

$(-4b-5c)a(a+b) -bc(4b+5c)-ac(-4b)+2abc = -4a^2b - 5a^2c -4ab^2 -5abc -4b^2c - 5bc^2 + 4abc + 2abc = -4a^2b - 5a^2c -4ab^2 - bc^2 -4b^2c + abc - 5bc^2$

これは0になりそうにありません。

選択肢2:

$ab(3a+4b)+bc(4b+5c)+ac(3a+5c)+12abc = 3a^2b + 4ab^2 + 4b^2c + 5bc^2 + 3a^2c + 5ac^2 + 12abc$

$3a+4b+5c=0$ より $3a = -4b-5c$ を代入すると、

$(-4b-5c)ab + 4ab^2 + bc(4b+5c) + ac(-4b-5c) + 5ac^2 + 12abc = -4ab^2 - 5abc + 4ab^2 + 4b^2c + 5bc^2 -4abc - 5ac^2 + 5ac^2 + 12abc = 4b^2c + 5bc^2 +3abc = bc(4b+5c) + 3abc = -3abc+3abc=0$

$4b = -3a-5c$ を代入すると、

$ab(3a-3a-5c)+bc(4b+5c)+ac(3a+5c)+12abc = ab(-5c)+bc(4b+5c)+ac(3a+5c)+12abc=-5abc + 4b^2c + 5bc^2 + 3a^2c + 5ac^2 +12abc = 4b^2c + 5bc^2 + 3a^2c + 5ac^2 +7abc$

選択肢3:

$ab(3a+4b)+bc(4b+5c)-ac(3a+5c)+3abc = 3a^2b + 4ab^2 + 4b^2c + 5bc^2 - 3a^2c - 5ac^2 + 3abc$

$3a = -4b-5c$ を代入すると、

$ab(-4b-5c+4b)+bc(4b+5c)-ac(-4b-5c) + 3abc = -5abc + 4b^2c + 5bc^2 + 4abc + 5ac^2 + 3abc = 4b^2c + 5bc^2 + 2abc + 5ac^2$

これは0になりそうにありません。

選択肢4:

$ab(3a+4b)-bc(4b+5c)+ac(3a+5c)+12abc = 3a^2b + 4ab^2 - 4b^2c - 5bc^2 + 3a^2c + 5ac^2 + 12abc$

$3a = -4b-5c$ を代入すると、

$ab(-4b-5c+4b)-bc(4b+5c)+ac(-4b-5c)+5ac^2 + 12abc = -5abc -4b^2c -5bc^2 -4abc - 5ac^2+ 5ac^2 +12abc = -4b^2c-5bc^2 + 3abc$

選択肢3の式を展開すると、

$3a^2b + 4ab^2 + 4b^2c + 5bc^2 - 3a^2c - 5ac^2 + 3abc = 0$

$3a^2b + 4ab^2 + 4b^2c + 5bc^2 - (3a^2c + 5ac^2 - 3abc) = 0$

また、$3a+4b+5c = 0$ なので $3a = -(4b+5c)$

選択肢3を整理する: $ab(3a+4b) + bc(4b+5c) - ac(3a+5c) + 3abc = ab(3a+4b) + bc(4b+5c) + ac(-3a-5c) + 3abc = ab(3a+4b) + bc(4b+5c) - ac(3a+5c) + 3abc = 0$.

$ab(3a+4b)+bc(4b+5c)-ac(3a+5c)+3abc = 3a^2b + 4ab^2 + 4b^2c + 5bc^2 -3a^2c - 5ac^2 +3abc$

$3a+4b+5c = 0$ なので、$3a = -4b-5c$.

代入すると

$(-4b-5c)ab+4ab^2+bc(4b+5c)-ac(-4b-5c)+3abc = -4ab^2 - 5abc + 4ab^2 + 4b^2c + 5bc^2 + 4abc + 5ac^2+ 3abc = 4b^2c + 5bc^2 +2abc + 5ac^2$.　これは $0$ にならない.

しかし、$3a = -(4b+5c)$ を $ab(3a+4b)+bc(4b+5c)-ac(3a+5c)+3abc = 0$ に代入すると

$ab(-4b-5c+4b)+bc(4b+5c)-ac(-4b-5c)+3abc = -5abc+bc(4b+5c)+ac(4b+5c)+3abc = bc(4b+5c)+ac(4b+5c)-2abc = (4b+5c)(bc+ac)-2abc = (4b+5c)(c)(a+b)-2abc = 4bc(a+b)+5c^2(a+b)-2abc = 4abc + 4b^2c + 5ac^2+5bc^2-2abc = 2abc +4b^2c +5bc^2+5ac^2$. これは0にならない.

3. 最終的な答え

選択肢3