図において、$x$ の値を求める問題です。直線 $l$ は円 $O$ および円 $O'$ の接線であり、円 $O$ の半径は $6$、円 $O'$ の半径は $2$ です。

1. 問題の内容

図において、$x$ の値を求める問題です。直線 $l$ は円 $O$ および円 $O'$ の接線であり、円 $O$ の半径は $6$、円 $O'$ の半径は $2$ です。

2. 解き方の手順

まず、点 $O$ から直線 $l$ に下ろした垂線の足を $A$ とし、点 $O'$ から直線 $l$ に下ろした垂線の足を $B$ とします。$OA=6$、$O'B=2$ です。

点 $O'$ から線分 $OA$ に垂線を下ろし、その足を $C$ とすると、四角形 $O'BCA$ は長方形であるため、$AC = O'B = 2$ となり、$OC = OA - CA = 6 - 2 = 4$ となります。

また、$OO' = 6 + 2 = 8$ です。

直角三角形 $OO'C$ において、ピタゴラスの定理より、

$O'C^2 + OC^2 = OO'^2$

$O'C^2 + 4^2 = 8^2$

$O'C^2 + 16 = 64$

$O'C^2 = 64 - 16 = 48$

$O'C = \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$

$O'C = AB = x$ であるから、$x = 4\sqrt{3}$ となります。

3. 最終的な答え

$x = 4\sqrt{3}$