与えられた定積分 $S$ の値を計算する問題です。 $S = \int_{-1}^1 \{(-x^3 + 3x^2 + 3x - 4) - (2x - 1)\} dx + \int_1^3 \{(2x - 1) - (-x^3 + 3x^2 + 3x - 4)\} dx$

1. 問題の内容

与えられた定積分 $S$ の値を計算する問題です。

$S = \int_{-1}^1 \{(-x^3 + 3x^2 + 3x - 4) - (2x - 1)\} dx + \int_1^3 \{(2x - 1) - (-x^3 + 3x^2 + 3x - 4)\} dx$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの積分の中の関数を整理します。

最初の積分:

$(-x^3 + 3x^2 + 3x - 4) - (2x - 1) = -x^3 + 3x^2 + x - 3$

2番目の積分:

$(2x - 1) - (-x^3 + 3x^2 + 3x - 4) = x^3 - 3x^2 - x + 3$

したがって、

$S = \int_{-1}^1 (-x^3 + 3x^2 + x - 3) dx + \int_1^3 (x^3 - 3x^2 - x + 3) dx$

それぞれの積分を計算します。

最初の積分:

$\int_{-1}^1 (-x^3 + 3x^2 + x - 3) dx = [-\frac{x^4}{4} + x^3 + \frac{x^2}{2} - 3x]_{-1}^1$

$= (-\frac{1}{4} + 1 + \frac{1}{2} - 3) - (-\frac{1}{4} - 1 + \frac{1}{2} + 3) = -\frac{1}{4} + 1 + \frac{1}{2} - 3 + \frac{1}{4} + 1 - \frac{1}{2} - 3 = -4$

2番目の積分:

$\int_1^3 (x^3 - 3x^2 - x + 3) dx = [\frac{x^4}{4} - x^3 - \frac{x^2}{2} + 3x]_1^3$

$= (\frac{81}{4} - 27 - \frac{9}{2} + 9) - (\frac{1}{4} - 1 - \frac{1}{2} + 3) = \frac{81}{4} - 18 - \frac{9}{2} - \frac{1}{4} + 1 + \frac{1}{2} - 3 = \frac{80}{4} - 20 - \frac{8}{2} = 20 - 20 - 4 = -4$

したがって、$S = -4 + (-4) = -8$

3. 最終的な答え

$S = -8$