地震のマグニチュード $M$ とエネルギー $E$ の関係について、以下の2つの問題に答えます。 (1) $\log_{10}E$ を $M$ を用いて表しなさい。ただし、$M=1.0$ のとき $\log_{10}E = 6.3$ であるとします。 (2) $E$ が $\frac{1}{10}$ 倍になるときの $M$ の減少量を求めなさい。

1. 問題の内容

地震のマグニチュード $M$ とエネルギー $E$ の関係について、以下の2つの問題に答えます。

(1) $\log_{10}E$ を $M$ を用いて表しなさい。ただし、$M=1.0$ のとき $\log_{10}E = 6.3$ であるとします。

(2) $E$ が $\frac{1}{10}$ 倍になるときの $M$ の減少量を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) $M$ が2増えると $E$ は1000倍になることから、$E$ は $1000^{\frac{M}{2}}$ に比例すると考えられます。したがって、$\log_{10}E$ は $\frac{M}{2} \log_{10}1000 = \frac{M}{2} \times 3 = \frac{3}{2}M$ に比例すると考えられます。

$M=1.0$ のとき $\log_{10}E = 6.3$ であることから、

$\log_{10}E = aM + b$ とおきます。

$M=1.0$ のとき $\log_{10}E = 6.3$ なので、

$6.3 = a \times 1 + b$

$M$ が 2 増えると $E$ が 1000 倍になるので、$\log_{10}E$ は $\log_{10}1000 = 3$ 増えます。

$a(M+2) + b = aM + b + 3$

$aM + 2a + b = aM + b + 3$

$2a = 3$

$a = \frac{3}{2}$

$6.3 = \frac{3}{2} \times 1 + b$

$6.3 = 1.5 + b$

$b = 6.3 - 1.5 = 4.8$

よって、$\log_{10}E = \frac{3}{2}M + 4.8$

(2) $E$ が $\frac{1}{10}$ 倍になると、$M$ がどれだけ減少するかを求めます。

$E$ が $\frac{1}{10}$ 倍になると、$\log_{10}E$ は $\log_{10}\frac{1}{10} = -1$ だけ減少します。

$\log_{10}E_1 = \frac{3}{2}M_1 + 4.8$

$\log_{10}E_2 = \frac{3}{2}M_2 + 4.8$

$E_2 = \frac{1}{10}E_1$ より、$\log_{10}E_2 = \log_{10}E_1 - 1$

$\log_{10}E_1 - 1 = \frac{3}{2}M_2 + 4.8$

$\log_{10}E_1 = \frac{3}{2}M_1 + 4.8$ なので、

$\frac{3}{2}M_1 + 4.8 - 1 = \frac{3}{2}M_2 + 4.8$

$\frac{3}{2}M_1 - 1 = \frac{3}{2}M_2$

$\frac{3}{2}M_1 - \frac{3}{2}M_2 = 1$

$\frac{3}{2}(M_1 - M_2) = 1$

$M_1 - M_2 = \frac{2}{3}$

したがって、$M$ の減少量は $\frac{2}{3}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\log_{10}E = \frac{3}{2}M + 4.8$

(2) $\frac{2}{3}$