地震のマグニチュード$M$とエネルギー$E$の関係について、$M$が2増えるごとに$E$が1000倍になる。$M=1.0$のとき、$\log_{10}E=6.3$である。 (1) $\log_{10}E$を$M$を用いて表す。 (2) $E$が$\frac{1}{10}$倍になるときの$M$の減少量を求める。

1. 問題の内容

地震のマグニチュード$M$とエネルギー$E$の関係について、$M$が2増えるごとに$E$が1000倍になる。$M=1.0$のとき、$\log_{10}E=6.3$である。

(1) $\log_{10}E$を$M$を用いて表す。

(2) $E$が$\frac{1}{10}$倍になるときの$M$の減少量を求める。

2. 解き方の手順

(1) $M$が2増えると$E$が1000倍になることから、$\log_{10}E$は$M$の線形関数で表せると考えられる。

$\log_{10}E = aM + b$とおく。

$M = 1.0$のとき$\log_{10}E = 6.3$なので、

$6.3 = a(1.0) + b$。

$M$が2増えると$E$が1000倍になるので、$\log_{10}E$は$\log_{10}1000=3$増える。

したがって、$M = 3.0$のとき、$\log_{10}E = 6.3 + 3 = 9.3$。

$9.3 = a(3.0) + b$。

上記の二つの式から、$a$と$b$を求める。

$9.3 - 6.3 = 3a - a$

$3 = 2a$

$a = 1.5$

$6.3 = 1.5 + b$

$b = 4.8$

よって、$\log_{10}E = 1.5M + 4.8$

(2) $E$が$\frac{1}{10}$倍になるとき、$\log_{10}E$は$\log_{10}\frac{1}{10} = -1$だけ減少する。

$\log_{10}E$の減少量を$\Delta(\log_{10}E)$、$M$の減少量を$\Delta M$とすると、

$\Delta(\log_{10}E) = 1.5 \Delta M$

$-1 = 1.5 \Delta M$

$\Delta M = -\frac{1}{1.5} = -\frac{2}{3}$

$M$の減少量は$\frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\log_{10}E = 1.5M + 4.8$

(2) $\frac{2}{3}$