曲線 $C: y = -x^3 + 3x^2 + 3x - 4$ と直線 $l: y = 2x - 1$ の共有点の $x$ 座標を求め、さらに曲線 $C$ と直線 $l$ によって囲まれた部分の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $C: y = -x^3 + 3x^2 + 3x - 4$ と直線 $l: y = 2x - 1$ の共有点の $x$ 座標を求め、さらに曲線 $C$ と直線 $l$ によって囲まれた部分の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 共有点の $x$ 座標を求める。

曲線 $C$ と直線 $l$ の方程式を連立させて、$x$ についての方程式を立てます。

$-x^3 + 3x^2 + 3x - 4 = 2x - 1$

$-x^3 + 3x^2 + x - 3 = 0$

$x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0$

この方程式を解きます。$x=1$を代入すると、$1-3-1+3 = 0$となるので、$x=1$は解の一つです。

そこで、$x^3 - 3x^2 - x + 3$ を $x-1$ で割ると、

$x^3 - 3x^2 - x + 3 = (x - 1)(x^2 - 2x - 3) = (x - 1)(x - 3)(x + 1)$

したがって、$x = -1, 1, 3$ が共有点の $x$ 座標です。

(2) 面積を求める。

曲線 $C$ と直線 $l$ で囲まれた部分の面積は、定積分を用いて計算します。

$x = -1$ から $x = 1$ の区間では、$C$ が $l$ より上にあるので、

$S_1 = \int_{-1}^1 \{(-x^3 + 3x^2 + 3x - 4) - (2x - 1)\} dx = \int_{-1}^1 (-x^3 + 3x^2 + x - 3) dx$

$= \left[ -\frac{1}{4}x^4 + x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 3x \right]_{-1}^1 = \left( -\frac{1}{4} + 1 + \frac{1}{2} - 3 \right) - \left( -\frac{1}{4} - 1 + \frac{1}{2} + 3 \right)$

$= -\frac{1}{4} + 1 + \frac{1}{2} - 3 + \frac{1}{4} + 1 - \frac{1}{2} - 3 = -4$

面積なので絶対値をとり、$S_1 = 4$

$x = 1$ から $x = 3$ の区間では、$l$ が $C$ より上にあるので、

$S_2 = \int_{1}^3 \{(2x - 1) - (-x^3 + 3x^2 + 3x - 4)\} dx = \int_{1}^3 (x^3 - 3x^2 - x + 3) dx$

$= \left[ \frac{1}{4}x^4 - x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 3x \right]_{1}^3 = \left( \frac{81}{4} - 27 - \frac{9}{2} + 9 \right) - \left( \frac{1}{4} - 1 - \frac{1}{2} + 3 \right)$

$= \frac{81}{4} - 27 - \frac{9}{2} + 9 - \frac{1}{4} + 1 + \frac{1}{2} - 3 = \frac{80}{4} - 20 - \frac{8}{2} + 6 = 20 - 20 - 4 + 6 = 4$

よって、求める面積は、$S = |S_1| + S_2 = 4 + 4 = 8$

3. 最終的な答え

共有点の $x$ 座標: $x = -1, 1, 3$

面積: $8$