関数 $f(x) = -x^3 + 3ax^2$ について、$x$ が $-2 \le x \le 2$ の範囲で動くときの最大値と最小値を求めます。ただし、$a$ は $0 < a < 1$ を満たす定数とします。最小値は、$0 < a < \frac{4}{5}$ のときと $\frac{4}{5} \le a < 1$ のときで場合分けして求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x^3 + 3ax^2$ について、$x$ が $-2 \le x \le 2$ の範囲で動くときの最大値と最小値を求めます。ただし、$a$ は $0 < a < 1$ を満たす定数とします。最小値は、$0 < a < \frac{4}{5}$ のときと $\frac{4}{5} \le a < 1$ のときで場合分けして求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ の導関数を求めます。

$f'(x) = -3x^2 + 6ax = -3x(x - 2a)$

(2) $f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$-3x(x-2a) = 0$ より $x=0, 2a$

(3) $0<a<1$ より、区間 $-2 \le x \le 2$ における $f(x)$ の増減を調べます。$0 < 2a < 2$ に注意します。

$f(-2) = -(-2)^3 + 3a(-2)^2 = 8 + 12a$

$f(0) = 0$

$f(2a) = -(2a)^3 + 3a(2a)^2 = -8a^3 + 12a^3 = 4a^3$

$f(2) = -2^3 + 3a(2)^2 = -8 + 12a$

(4) 最大値を求めます。

$8 + 12a$ と $-8 + 12a$ を比較すると、$8 + 12a > -8 + 12a$ なので、最大値は $8 + 12a$ と $4a^3$ の大きい方です。

$a \in (0,1)$ であり、問題文の空欄の形から、$8 + 12a$ が最大値であると予想できます。

(5) 最小値を求めます。

$0 < a < \frac{4}{5}$ のとき、$2a < \frac{8}{5} < 2$ なので、$x = 0, 2a$ は定義域内にあります。このとき、$f(0) = 0$ と $f(2) = -8 + 12a$ を比較します。

$0 < a < \frac{4}{5}$ より、$12a < \frac{48}{5} = 9.6$ であるため、$-8 + 12a < -8 + 9.6 = 1.6$ となります。

しかし、 $-8+12a$ は負の値を取る可能性もあるので、$0 < a < \frac{2}{3}$ ならば $-8 + 12a < 0$ となり、最小値は $-8 + 12a$ です。

$2a<2$ なので、$f(2)$が最小値になり得ます。

$\frac{4}{5} \le a < 1$ のとき、$f(2) = -8 + 12a \ge -8 + 12 \cdot \frac{4}{5} = -8 + \frac{48}{5} = \frac{-40 + 48}{5} = \frac{8}{5} > 0$

このとき $f(2) > 0$ なので、最小値は $f(0) = 0$ です。

$0 < a < \frac{4}{5}$ のとき、$f(2) = -8+12a$が最小値を取ります。

3. 最終的な答え

最大値: 12a + 8

最小値:

$0 < a < \frac{4}{5}$ のとき 12a - 8

$\frac{4}{5} \le a < 1$ のとき 0