関数 $f(\theta) = \cos 4\theta - 4\sin^2 \theta$ について、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ における最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(\theta) = \cos 4\theta - 4\sin^2 \theta$ について、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ における最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(\theta)$ を $\cos \theta$ の式で表す。

倍角の公式 $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ を利用して、

$\sin^2 \theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2}$ より、

$4 \sin^2 \theta = 2(1-\cos 2\theta)$

$\cos 4\theta = 2\cos^2 2\theta - 1$ より、

$f(\theta) = 2\cos^2 2\theta - 1 - 2(1-\cos 2\theta) = 2\cos^2 2\theta + 2\cos 2\theta - 3$

ここで、$x = \cos 2\theta$ とおくと、

$f(\theta) = 2x^2 + 2x - 3$

次に、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ より、$0 \le 2\theta \le \pi$ であるから、$-1 \le \cos 2\theta \le 1$ 、つまり $-1 \le x \le 1$ である。

$g(x) = 2x^2 + 2x - 3$ とおくと、$g(x)$ は $x$ の二次関数であり、平方完成すると、

$g(x) = 2(x^2 + x) - 3 = 2(x+\frac{1}{2})^2 - 2(\frac{1}{4}) - 3 = 2(x+\frac{1}{2})^2 - \frac{7}{2}$

したがって、$g(x)$ は、$x = -\frac{1}{2}$ のとき最小値 $-\frac{7}{2}$ をとり、$x = 1$ のとき最大値 $2(1)^2 + 2(1) - 3 = 2+2-3 = 1$ をとる。また、$x = -1$ のとき、$g(-1) = 2(-1)^2 + 2(-1) - 3 = 2 - 2 - 3 = -3$ となる。

$-1 \le x \le 1$ における $g(x)$ の最大値は、$x=1$のときの $1$ である。このとき、$\cos 2\theta = 1$ より、$2\theta = 0$ となり、$\theta = 0$ である。

$-1 \le x \le 1$ における $g(x)$ の最小値は、$x=-\frac{1}{2}$のときの $-\frac{7}{2}$ である。このとき、$\cos 2\theta = -\frac{1}{2}$ より、$2\theta = \frac{2\pi}{3}$ となり、$\theta = \frac{\pi}{3}$ である。

3. 最終的な答え

最大値：1 ($\theta = 0$)

最小値：$-\frac{7}{2}$ ($\theta = \frac{\pi}{3}$)