問題文は、素数 $p$ に対して $p^5$ が持つ正の約数の個数を求め、次に、正の約数をちょうど1個持つ自然数を考え、そのような最小の自然数と、そのような奇数のうち2番目に小さいものを求める問題です。

1. 問題の内容

問題文は、素数 $p$ に対して $p^5$ が持つ正の約数の個数を求め、次に、正の約数をちょうど1個持つ自然数を考え、そのような最小の自然数と、そのような奇数のうち2番目に小さいものを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$p$ が素数のとき、$p^5$ の正の約数の個数を考えます。

$p^5$ の約数は、$p^0, p^1, p^2, p^3, p^4, p^5$ の形で表されるので、約数の個数は6個です。

次に、正の約数をちょうど1個持つ自然数を考えます。正の約数を1個だけ持つ自然数は、1のみです。なぜなら、1はどんな数でも割れるからです。

したがって、条件(*)を満たす最小の自然数は1です。

最後に、正の約数をちょうど1個持つ正の奇数のうち、2番目に小さいものを考えます。先述の通り、正の約数を1個だけ持つ自然数は1のみであり、1は奇数です。したがって、条件(*)を満たす奇数は1のみなので、2番目に小さい奇数というものは存在しません。

問題文に誤植があり、正の約数をちょうど$n$個持つという条件の間違いであると仮定します。

正の約数をちょうど2個持つ自然数は素数です。素数のうち最小の奇数は3で、2番目に小さい奇数は5です。

正の約数をちょうど3個持つ自然数は、ある素数 $p$ に対して $p^2$ の形となります。最小の奇数は $3^2 = 9$ で、2番目に小さい奇数は $5^2 = 25$ です。

正の約数をちょうど4個持つ自然数は、$p^3$ (pは素数)または $pq$ (p, qは異なる素数)の形で表されます。最小の奇数は、$3^3 = 27$または$3*5 = 15$から15となります。2番目に小さい奇数は、$3*7=21$か$5*3=15$か$5*5=25$か$5*7=35$か$3^3=27$か$5^3=125$の中から21となります。

3. 最終的な答え

$p$が素数のとき $p^5$は正の約数をちょうど 6 個もつ.

条件(*)を満たす最小の自然数は、1であり、

条件(*)を満たす正の奇数のうち、2番目に小さいのは、存在しない。

ただし、問題文に誤植があり、正の約数をちょうど2個持つ奇数について問われていると仮定すると、

条件(*)を満たす正の奇数のうち、2番目に小さいのは、5である。