(1) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(x, y)$ における接線の傾きが $3x^2 - 4$ で表されるとき、曲線が $(2, -5)$ を通るという条件のもとで $f(x)$ を求めます。 (2) 等式 $f(x) = 2x^2 - \int_{-1}^1 f(t) dt$ を満たす関数 $f(x)$ を求めます。 (3) 等式 $\int_a^x f(t) dt = (x+1)(x-3)$ を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ を求めます。

1. 問題の内容

(1) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(x, y)$ における接線の傾きが $3x^2 - 4$ で表されるとき、曲線が $(2, -5)$ を通るという条件のもとで $f(x)$ を求めます。

(2) 等式 $f(x) = 2x^2 - \int_{-1}^1 f(t) dt$ を満たす関数 $f(x)$ を求めます。

(3) 等式 $\int_a^x f(t) dt = (x+1)(x-3)$ を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

接線の傾きが $3x^2 - 4$ なので、$f'(x) = 3x^2 - 4$ です。

これを積分することで $f(x)$ を求めることができます。

$f(x) = \int (3x^2 - 4) dx = x^3 - 4x + C$ (Cは積分定数)

曲線が $(2, -5)$ を通るので、$f(2) = -5$ です。

$f(2) = 2^3 - 4(2) + C = 8 - 8 + C = C = -5$

したがって、$f(x) = x^3 - 4x - 5$ です。

(2)

$f(x) = 2x^2 - \int_{-1}^1 f(t) dt$

ここで、$\int_{-1}^1 f(t) dt$ は定数なので、$A = \int_{-1}^1 f(t) dt$ とおくと、

$f(x) = 2x^2 - A$

このとき、$A = \int_{-1}^1 (2t^2 - A) dt = \left[ \frac{2}{3}t^3 - At \right]_{-1}^1 = \frac{2}{3}(1^3 - (-1)^3) - A(1 - (-1)) = \frac{4}{3} - 2A$

$3A = \frac{4}{3}$ より、$A = \frac{4}{9}$

したがって、$f(x) = 2x^2 - \frac{4}{9}$

(3)

$\int_a^x f(t) dt = (x+1)(x-3) = x^2 - 2x - 3$

両辺を $x$ で微分すると、$f(x) = 2x - 2$

次に、$x = a$ を代入すると、$\int_a^a f(t) dt = 0$ なので、

$(a+1)(a-3) = 0$

したがって、$a = -1, 3$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = x^3 - 4x - 5$

(2) $f(x) = 2x^2 - \frac{4}{9}$

(3) $f(x) = 2x - 2$, $a = -1, 3$