与えられた3つの問題について、それぞれ図形とx軸、または2つの放物線で囲まれた図形の面積Sを求めます。 (1) 曲線 $y = -x^3 + 3x^2$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積。 (2) 放物線 $y = 1 - x^2$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積。 (3) 2つの放物線 $y = x^2 - 5x$ と $y = -x^2 - 2$ で囲まれた図形の面積。

1. 問題の内容

与えられた3つの問題について、それぞれ図形とx軸、または2つの放物線で囲まれた図形の面積Sを求めます。

(1) 曲線 $y = -x^3 + 3x^2$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積。

(2) 放物線 $y = 1 - x^2$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積。

(3) 2つの放物線 $y = x^2 - 5x$ と $y = -x^2 - 2$ で囲まれた図形の面積。

2. 解き方の手順

(1) 曲線 $y = -x^3 + 3x^2$ と $x$ 軸の交点を求めます。

$y = -x^3 + 3x^2 = -x^2(x - 3) = 0$ より、$x = 0, 3$ が交点です。

求める面積は、積分を用いて計算します。

$S = \int_0^3 (-x^3 + 3x^2) dx = [-\frac{1}{4}x^4 + x^3]_0^3 = -\frac{1}{4}(3^4) + 3^3 = -\frac{81}{4} + 27 = \frac{-81 + 108}{4} = \frac{27}{4}$

(2) 放物線 $y = 1 - x^2$ と $x$ 軸の交点を求めます。

$y = 1 - x^2 = 0$ より、$x^2 = 1$ なので、$x = -1, 1$ が交点です。

求める面積は、積分を用いて計算します。

$S = \int_{-1}^1 (1 - x^2) dx = [x - \frac{1}{3}x^3]_{-1}^1 = (1 - \frac{1}{3}) - (-1 + \frac{1}{3}) = 1 - \frac{1}{3} + 1 - \frac{1}{3} = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

(3) 2つの放物線 $y = x^2 - 5x$ と $y = -x^2 - 2$ の交点を求めます。

$x^2 - 5x = -x^2 - 2$ より、$2x^2 - 5x + 2 = 0$

$(2x - 1)(x - 2) = 0$ より、$x = \frac{1}{2}, 2$ が交点です。

求める面積は、積分を用いて計算します。

$S = \int_{\frac{1}{2}}^2 (-x^2 - 2 - (x^2 - 5x)) dx = \int_{\frac{1}{2}}^2 (-2x^2 + 5x - 2) dx = [-\frac{2}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 2x]_{\frac{1}{2}}^2$

$= (-\frac{2}{3}(2^3) + \frac{5}{2}(2^2) - 2(2)) - (-\frac{2}{3}(\frac{1}{2})^3 + \frac{5}{2}(\frac{1}{2})^2 - 2(\frac{1}{2}))$

$= (-\frac{16}{3} + 10 - 4) - (-\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{8} + \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{4} - 1)$

$= (-\frac{16}{3} + 6) - (-\frac{1}{12} + \frac{5}{8} - 1)$

$= \frac{-16 + 18}{3} - (\frac{-2 + 15 - 24}{24}) = \frac{2}{3} - (\frac{-11}{24}) = \frac{2}{3} + \frac{11}{24} = \frac{16 + 11}{24} = \frac{27}{24} = \frac{9}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{27}{4}$

(2) $\frac{4}{3}$

(3) $\frac{9}{8}$