放物線 $C: y = x^2 + 1$ と直線 $l: y = 4x + 6$ がある。$C$ と $l$ の交点の $x$ 座標の小さい順に $A$, $B$ とする。 (1) 点 $A$, $B$ における $C$ の接線 $l_A$, $l_B$ の方程式を求める。 (2) $C$ と $l$ で囲まれる図形の面積 $S_1$ を求める。 (3) $C$, $l_A$, $l_B$ で囲まれる図形の面積 $S_2$ を求める。 (4) $l$, $l_A$, $l_B$ で囲まれる三角形の面積を $S$ とする。$S$ を $S_1$, $S_2$ で表す。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = x^2 + 1$ と直線 $l: y = 4x + 6$ がある。$C$ と $l$ の交点の $x$ 座標の小さい順に $A$, $B$ とする。

(1) 点 $A$, $B$ における $C$ の接線 $l_A$, $l_B$ の方程式を求める。

(2) $C$ と $l$ で囲まれる図形の面積 $S_1$ を求める。

(3) $C$, $l_A$, $l_B$ で囲まれる図形の面積 $S_2$ を求める。

(4) $l$, $l_A$, $l_B$ で囲まれる三角形の面積を $S$ とする。$S$ を $S_1$, $S_2$ で表す。

2. 解き方の手順

(1)

まず，$C$ と $l$ の交点の $x$ 座標を求める。

$x^2 + 1 = 4x + 6$

$x^2 - 4x - 5 = 0$

$(x - 5)(x + 1) = 0$

$x = 5, -1$

したがって、$A$ の $x$ 座標は $-1$, $B$ の $x$ 座標は $5$ である。

$y = x^2 + 1$ を微分すると、$y' = 2x$ となる。

点 $A(-1, 2)$ における接線 $l_A$ の傾きは $2(-1) = -2$ である。

$l_A$ の方程式は $y - 2 = -2(x + 1)$ より、

$y = -2x$

点 $B(5, 26)$ における接線 $l_B$ の傾きは $2(5) = 10$ である。

$l_B$ の方程式は $y - 26 = 10(x - 5)$ より、

$y = 10x - 24$

(2)

$S_1 = \int_{-1}^{5} (4x + 6 - (x^2 + 1)) dx$

$= \int_{-1}^{5} (-x^2 + 4x + 5) dx$

$= [-\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 5x]_{-1}^{5}$

$= (-\frac{125}{3} + 50 + 25) - (\frac{1}{3} + 2 - 5)$

$= -\frac{125}{3} + 75 - \frac{1}{3} - 2 + 5$

$= 78 - \frac{126}{3} = 78 - 42 = 36$

(3)

$l_A$ と $l_B$ の交点を求める。

$-2x = 10x - 24$

$12x = 24$

$x = 2$

交点は $(2, -4)$ である。

$S_2$ は、放物線 $C$ と接線 $l_A$, $l_B$ で囲まれた図形の面積である。

$S_2 = \int_{-1}^{2} (x^2 + 1 - (-2x)) dx + \int_{2}^{5} (x^2 + 1 - (10x - 24)) dx$

$= \int_{-1}^{2} (x^2 + 2x + 1) dx + \int_{2}^{5} (x^2 - 10x + 25) dx$

$= \int_{-1}^{2} (x+1)^2 dx + \int_{2}^{5} (x-5)^2 dx$

$= [\frac{1}{3}(x+1)^3]_{-1}^{2} + [\frac{1}{3}(x-5)^3]_{2}^{5}$

$= (\frac{1}{3}(3^3) - 0) + (0 - \frac{1}{3}(-3)^3)$

$= 9 - \frac{1}{3}(-27) = 9 + 9 = 18$

(4)

三角形の面積 $S$ は、$S = \frac{1}{2} |(x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B))|$

ここで、$l$ と $l_A$, $l_B$ で囲まれた三角形の面積なので、$A(-1,2)$, $B(5, 26)$, $C(2, -4)$ である。

$S = \frac{1}{2} |(-1(-4 - 26) + 5(2 - (-4)) + 2(26 - 2))|$

$= \frac{1}{2} |(-1(-30) + 5(6) + 2(24))|$

$= \frac{1}{2} |30 + 30 + 48| = \frac{1}{2} |108| = 54$

$S_1 = 36$, $S_2 = 18$ なので、$S_1 + S_2 = 54$ である。

したがって、$S = S_1 + S_2$.

3. 最終的な答え

(1) $l_A : y = -2x$, $l_B : y = 10x - 24$

(2) $S_1 = 36$

(3) $S_2 = 18$

(4) $S = S_1 + S_2$