与えられた三角関数の式を $r \sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する問題です。具体的には、以下の2つの式を変形します。 (1) $\sin \theta + \cos \theta$ (2) $\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta$

1. 問題の内容

与えられた三角関数の式を $r \sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する問題です。具体的には、以下の2つの式を変形します。

(1) $\sin \theta + \cos \theta$

(2) $\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta$

2. 解き方の手順

三角関数の合成公式を利用します。

$a \sin \theta + b \cos \theta = r \sin(\theta + \alpha)$ となるように $r$ と $\alpha$ を求めます。

ここで、$r = \sqrt{a^2 + b^2}$ であり、$\cos \alpha = \frac{a}{r}$、$\sin \alpha = \frac{b}{r}$ を満たす $\alpha$ を求めます。

(1) $\sin \theta + \cos \theta$ の場合：

$a = 1$, $b = 1$ なので、$r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$ より、$\alpha = \frac{\pi}{4}$

したがって、

$\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4})$

(2) $\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta$ の場合：

$a = 1$, $b = \sqrt{3}$ なので、$r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

$\cos \alpha = \frac{1}{2}$, $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より、$\alpha = \frac{\pi}{3}$

したがって、

$\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = 2 \sin(\theta + \frac{\pi}{3})$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4})$

(2) $2 \sin(\theta + \frac{\pi}{3})$