$0 < a < b$ を満たす定数 $a, b$ があり、関数 $y = \log x$ のグラフを $G$ とする。点 $A(a, \log a)$ から点 $B(b, \log b)$ まで曲線 $G$ 上を点 $C$ が動くとき、点 $C$ から $x$ 軸への垂線と線分 $AB$ との交点を $P$ とする。線分 $CP$ の長さの最大値を $L$ とする。 (1) 不等式 $a < \frac{b - a}{\log b - \log a} < b$ を証明せよ。 (2) $h = \frac{b}{a}$ とおくとき、$L$ を $h$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

$0 < a < b$ を満たす定数 $a, b$ があり、関数 $y = \log x$ のグラフを $G$ とする。点 $A(a, \log a)$ から点 $B(b, \log b)$ まで曲線 $G$ 上を点 $C$ が動くとき、点 $C$ から $x$ 軸への垂線と線分 $AB$ との交点を $P$ とする。線分 $CP$ の長さの最大値を $L$ とする。

(1) 不等式 $a < \frac{b - a}{\log b - \log a} < b$ を証明せよ。

(2) $h = \frac{b}{a}$ とおくとき、$L$ を $h$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) 平均値の定理を利用する。

$f(x) = \log x$ とすると、区間 $[a, b]$ で平均値の定理より、

$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$ となる $c$ が $a < c < b$ の範囲に存在する。

$f'(x) = \frac{1}{x}$ より、

$\frac{\log b - \log a}{b - a} = \frac{1}{c}$

$\frac{b - a}{\log b - \log a} = c$

したがって、$a < c < b$ より、$a < \frac{b - a}{\log b - \log a} < b$ が成り立つ。

(2) 点 $C$ の $x$ 座標を $t$ とすると、$a \le t \le b$ である。

点 $C$ の座標は $(t, \log t)$ である。

直線 $AB$ の方程式は、

$y - \log a = \frac{\log b - \log a}{b - a}(x - a)$

$y = \frac{\log b - \log a}{b - a}(x - a) + \log a$

点 $P$ の $x$ 座標は $t$ であるから、点 $P$ の $y$ 座標は、

$y_P = \frac{\log b - \log a}{b - a}(t - a) + \log a$

$CP = y_P - \log t = \frac{\log b - \log a}{b - a}(t - a) + \log a - \log t$

$CP = \frac{\log b - \log a}{b - a} t - \frac{\log b - \log a}{b - a} a + \log a - \log t$

$CP = \frac{\log b - \log a}{b - a} t - \frac{a (\log b - \log a)}{b - a} + \log a - \log t$

$CP = \frac{\log b - \log a}{b - a} t + \frac{(b - a) \log a - a (\log b - \log a)}{b - a} - \log t$

$CP = \frac{\log b - \log a}{b - a} t + \frac{b \log a - a \log b}{b - a} - \log t$

$CP$ が最大となる $t$ を求めるために、$CP$ を $t$ で微分する。

$\frac{d}{dt} CP = \frac{\log b - \log a}{b - a} - \frac{1}{t}$

$\frac{d}{dt} CP = 0$ となる $t$ を求める。

$\frac{\log b - \log a}{b - a} = \frac{1}{t}$

$t = \frac{b - a}{\log b - \log a}$

$L = \frac{\log b - \log a}{b - a} \left( \frac{b - a}{\log b - \log a} - a \right) + \log a - \log \left( \frac{b - a}{\log b - \log a} \right)$

$L = 1 - \frac{a(\log b - \log a)}{b - a} + \log a - \log \left( \frac{b - a}{\log b - \log a} \right)$

$h = \frac{b}{a}$ より $b = ah$

$L = \frac{\log ah - \log a}{ah - a} t - \frac{a(\log ah - \log a)}{ah - a} + \log a - \log t$

$t = \frac{ah - a}{\log ah - \log a} = \frac{a (h - 1)}{\log h}$

$CP = \frac{\log h}{a(h-1)} t - \frac{a \log h}{a(h - 1)} + \log a - \log t$

$CP' = \frac{\log h}{a(h-1)} - \frac{1}{t} = 0$ より、

$t = \frac{a(h-1)}{\log h}$

$L = \frac{\log h}{a(h-1)} (\frac{a(h-1)}{\log h} - a) + \log a - \log (\frac{a(h-1)}{\log h})$

$L = 1 - \frac{a \log h}{a(h-1)} + \log a - \log a - \log(h-1) + \log (\log h)$

$L = 1 - \frac{\log h}{h-1} - \log(h-1) + \log (\log h) = 1 - \frac{\log h}{h-1} + \log(\frac{\log h}{h-1})$

$CP = \log t - \frac{\log b - \log a}{b-a}(t - a) - \log a$

$L = \log(\frac{a(h-1)}{\log h}) - (\frac{\log (ah) - \log a}{ah-a})(\frac{a(h-1)}{\log h}-a) - \log a$

$L = \log (\frac{h-1}{\log h}) + \log a - (\frac{\log h}{a(h-1)})(\frac{a(h-1)}{\log h} - a) - \log a$

$L = \log (\frac{h-1}{\log h}) - \frac{\log h}{h-1}(\frac{h-1}{\log h} - 1)$

$L = \log(\frac{h-1}{\log h}) - 1 + \frac{\log h}{h-1}$

3. 最終的な答え

(1) $a < \frac{b - a}{\log b - \log a} < b$

(2) $L = \log\left(\frac{h-1}{\log h}\right) - 1 + \frac{\log h}{h-1}$