円 $x^2 + y^2 = 25$ と直線 $y = 2x + k$ が共有点を持つときの定数 $k$ の値の範囲と、円と直線が接するときの定数 $k$ の値および接点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 25$ と直線 $y = 2x + k$ が共有点を持つときの定数 $k$ の値の範囲と、円と直線が接するときの定数 $k$ の値および接点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 円と直線が共有点を持つ条件

円 $x^2 + y^2 = 25$ と直線 $y = 2x + k$ の共有点を求めるには、これらの式を連立させて $x$ についての2次方程式を得て、その判別式を調べればよい。

$x^2 + (2x + k)^2 = 25$

$x^2 + 4x^2 + 4kx + k^2 = 25$

$5x^2 + 4kx + k^2 - 25 = 0$

この2次方程式の判別式を $D$ とすると、

$D = (4k)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (k^2 - 25)$

$D = 16k^2 - 20k^2 + 500$

$D = -4k^2 + 500$

円と直線が共有点を持つ条件は $D \ge 0$ である。

$-4k^2 + 500 \ge 0$

$4k^2 \le 500$

$k^2 \le 125$

$-\sqrt{125} \le k \le \sqrt{125}$

$-5\sqrt{5} \le k \le 5\sqrt{5}$

(2) 円と直線が接する条件

円と直線が接する条件は $D = 0$ である。

$-4k^2 + 500 = 0$

$4k^2 = 500$

$k^2 = 125$

$k = \pm \sqrt{125}$

$k = \pm 5\sqrt{5}$

(3) 接点の座標

$k = 5\sqrt{5}$ のとき、

$5x^2 + 4(5\sqrt{5})x + (5\sqrt{5})^2 - 25 = 0$

$5x^2 + 20\sqrt{5}x + 125 - 25 = 0$

$5x^2 + 20\sqrt{5}x + 100 = 0$

$x^2 + 4\sqrt{5}x + 20 = 0$

$(x + 2\sqrt{5})^2 = 0$

$x = -2\sqrt{5}$

$y = 2x + k = 2(-2\sqrt{5}) + 5\sqrt{5} = -4\sqrt{5} + 5\sqrt{5} = \sqrt{5}$

よって、接点の座標は $(-2\sqrt{5}, \sqrt{5})$

$k = -5\sqrt{5}$ のとき、

$5x^2 + 4(-5\sqrt{5})x + (-5\sqrt{5})^2 - 25 = 0$

$5x^2 - 20\sqrt{5}x + 125 - 25 = 0$

$5x^2 - 20\sqrt{5}x + 100 = 0$

$x^2 - 4\sqrt{5}x + 20 = 0$

$(x - 2\sqrt{5})^2 = 0$

$x = 2\sqrt{5}$

$y = 2x + k = 2(2\sqrt{5}) - 5\sqrt{5} = 4\sqrt{5} - 5\sqrt{5} = -\sqrt{5}$

よって、接点の座標は $(2\sqrt{5}, -\sqrt{5})$

3. 最終的な答え

- 共有点を持つときの $k$ の範囲： $-5\sqrt{5} \le k \le 5\sqrt{5}$

- 接するときの $k$ の値：$k = 5\sqrt{5}$ のとき接点の座標は $(-2\sqrt{5}, \sqrt{5})$、 $k = -5\sqrt{5}$ のとき接点の座標は $(2\sqrt{5}, -\sqrt{5})$