直線 $y = x + 2$ が円 $x^2 + y^2 = 5$ によって切り取られる弦の長さを求める問題です。

1. 問題の内容

直線 $y = x + 2$ が円 $x^2 + y^2 = 5$ によって切り取られる弦の長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、直線と円の交点の座標を求めます。

直線の式 $y = x + 2$ を円の式 $x^2 + y^2 = 5$ に代入します。

$x^2 + (x + 2)^2 = 5$

$x^2 + x^2 + 4x + 4 = 5$

$2x^2 + 4x - 1 = 0$

この二次方程式を解の公式を使って解きます。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)}$

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 8}}{4}$

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{24}}{4}$

$x = \frac{-4 \pm 2\sqrt{6}}{4}$

$x = -1 \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

したがって、$x_1 = -1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$ と $x_2 = -1 - \frac{\sqrt{6}}{2}$ となります。

それぞれの $x$ の値に対応する $y$ の値を求めます。

$y_1 = x_1 + 2 = -1 + \frac{\sqrt{6}}{2} + 2 = 1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$

$y_2 = x_2 + 2 = -1 - \frac{\sqrt{6}}{2} + 2 = 1 - \frac{\sqrt{6}}{2}$

交点の座標は $\left(-1 + \frac{\sqrt{6}}{2}, 1 + \frac{\sqrt{6}}{2}\right)$ と $\left(-1 - \frac{\sqrt{6}}{2}, 1 - \frac{\sqrt{6}}{2}\right)$ です。

次に、2点間の距離の公式を使って弦の長さを求めます。

弦の長さ $L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

$L = \sqrt{\left((-1 - \frac{\sqrt{6}}{2}) - (-1 + \frac{\sqrt{6}}{2})\right)^2 + \left((1 - \frac{\sqrt{6}}{2}) - (1 + \frac{\sqrt{6}}{2})\right)^2}$

$L = \sqrt{\left(-\sqrt{6}\right)^2 + \left(-\sqrt{6}\right)^2}$

$L = \sqrt{6 + 6}$

$L = \sqrt{12}$

$L = 2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{3}$