## 回答

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1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

(1) 点 (2, 3, -2) を通り、ベクトル $\vec{v} = (-8, 7, 5)$ に平行な直線の媒介変数 $t$ を用いた方程式を求めよ。

(2) 2点 (3, 1, 2), (2, -3, 4) を通る直線の媒介変数 $t$ を用いた方程式を求めよ。

(3) 2直線 $\frac{x-2}{-2} = \frac{y+2}{6} = \frac{z}{4}$ と $\frac{x-2}{3} = \frac{y+2}{-2} = z+1$ のなす角を求めよ。

(4) 点 (1, 2, -2) を通り、ベクトル $\vec{n} = (5, 4, -6)$ に垂直な平面の方程式を求めよ。

(5) 点 (0, 1, -3) を通り、直線 $\frac{x-2}{-2} = y-3 = \frac{z}{7}$ に垂直な平面の方程式を求めよ。

(6) 点 (3, -1, 1) を通り、平面 $2x + y + 2z = 3$ に平行な平面の方程式を求めよ。

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2. 解き方の手順

**(1)**

* **手順1:** 点 $(x_0, y_0, z_0)$ を通り、方向ベクトル $\vec{v} = (a, b, c)$ に平行な直線の媒介変数表示は、

$$

\begin{aligned}

&x = x_0 + at \\

&y = y_0 + bt \\

&z = z_0 + ct

\end{aligned}

$$

で与えられる。

* **手順2:** 与えられた点 (2, 3, -2) と方向ベクトル $\vec{v} = (-8, 7, 5)$ を代入する。

$$

\begin{aligned}

&x = 2 - 8t \\

&y = 3 + 7t \\

&z = -2 + 5t

\end{aligned}

$$

**(2)**

* **手順1:** 2点 $(x_1, y_1, z_1)$ と $(x_2, y_2, z_2)$ を通る直線の方向ベクトルは、$\vec{v} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$ で与えられる。

* **手順2:** 与えられた2点 (3, 1, 2) と (2, -3, 4) を用いて、方向ベクトルを計算する。

$\vec{v} = (2 - 3, -3 - 1, 4 - 2) = (-1, -4, 2)$

* **手順3:** 点 $(x_0, y_0, z_0)$ を通り、方向ベクトル $\vec{v} = (a, b, c)$ に平行な直線の媒介変数表示は、(1) と同様。

点 (3, 1, 2) を用いると、

$$

\begin{aligned}

&x = 3 - t \\

&y = 1 - 4t \\

&z = 2 + 2t

\end{aligned}

$$

**(3)**

* **手順1:** 2直線 $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ と $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ のなす角 $\theta$ は、以下の式で与えられる。

$\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$

* **手順2:** 与えられた直線の方向ベクトルを読み取る。

* $\vec{v_1} = (-2, 6, 4)$

* $\vec{v_2} = (3, -2, 1)$

* **手順3:** $\cos \theta$ を計算する。

$\cos \theta = \frac{|(-2)(3) + (6)(-2) + (4)(1)|}{\sqrt{(-2)^2 + 6^2 + 4^2} \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|-6 - 12 + 4|}{\sqrt{4 + 36 + 16} \sqrt{9 + 4 + 1}} = \frac{14}{\sqrt{56} \sqrt{14}} = \frac{14}{\sqrt{784}} = \frac{14}{28} = \frac{1}{2}$

* **手順4:** $\theta$ を求める。

$\theta = \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$ (ラジアン) $= 60^\circ$ (度)

**(4)**

* **手順1:** 点 $(x_0, y_0, z_0)$ を通り、法線ベクトル $\vec{n} = (a, b, c)$ に垂直な平面の方程式は、

$a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$

で与えられる。

* **手順2:** 与えられた点 (1, 2, -2) と法線ベクトル $\vec{n} = (5, 4, -6)$ を代入する。

$5(x - 1) + 4(y - 2) - 6(z + 2) = 0$

* **手順3:** 式を整理する。

$5x - 5 + 4y - 8 - 6z - 12 = 0$

$5x + 4y - 6z - 25 = 0$

**(5)**

* **手順1:** 直線 $\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}$ の方向ベクトルは $\vec{v} = (a, b, c)$ である。

* **手順2:** 与えられた直線 $\frac{x-2}{-2} = y-3 = \frac{z}{7}$ の方向ベクトルは $\vec{v} = (-2, 1, 7)$ である。

* **手順3:** 求める平面の法線ベクトルは、与えられた直線の方向ベクトルに平行なので、$\vec{n} = (-2, 1, 7)$ となる。

* **手順4:** 点 $(x_0, y_0, z_0)$ を通り、法線ベクトル $\vec{n} = (a, b, c)$ に垂直な平面の方程式は、(4) と同様。

与えられた点 (0, 1, -3) と法線ベクトル $\vec{n} = (-2, 1, 7)$ を代入する。

$-2(x - 0) + 1(y - 1) + 7(z + 3) = 0$

* **手順5:** 式を整理する。

$-2x + y - 1 + 7z + 21 = 0$

$-2x + y + 7z + 20 = 0$

**(6)**

* **手順1:** 平面 $ax + by + cz = d$ に平行な平面は、$ax + by + cz = d'$ と表せる。

* **手順2:** 与えられた平面 $2x + y + 2z = 3$ に平行な平面は、$2x + y + 2z = d'$ と表せる。

* **手順3:** この平面が点 (3, -1, 1) を通るので、代入して $d'$ を求める。

$2(3) + (-1) + 2(1) = d'$

$6 - 1 + 2 = d'$

$d' = 7$

* **手順4:** 求める平面の方程式は、$2x + y + 2z = 7$

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3. 最終的な答え

(1)

$$

\begin{aligned}

&x = 2 - 8t \\

&y = 3 + 7t \\

&z = -2 + 5t

\end{aligned}

$$

(2)

$$

\begin{aligned}

&x = 3 - t \\

&y = 1 - 4t \\

&z = 2 + 2t

\end{aligned}

$$

(3) $\frac{\pi}{3}$ (ラジアン) $= 60^\circ$ (度)

(4) $5x + 4y - 6z - 25 = 0$

(5) $-2x + y + 7z + 20 = 0$

(6) $2x + y + 2z = 7$