(3) 2直線 $\frac{x-2}{-2} = \frac{y+2}{6} = \frac{z}{4}$ と $\frac{x-2}{3} = \frac{y+2}{-2} = z+1$ のなす角を求めよ。 (4) 点 (1, 2, -2) を通り、ベクトル $\vec{n} = (5, 4, -6)$ に垂直な平面の方程式を求めよ。 (5) 点 (0, 1, -3) を通り、直線 $\frac{x-2}{-2} = y-3 = \frac{z}{7}$ に垂直な平面の方程式を求めよ。 (6) 点 (3, -1, 1) を通り、平面 $2x + y + 2z = 3$ に平行な平面の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

(3) 2直線 $\frac{x-2}{-2} = \frac{y+2}{6} = \frac{z}{4}$ と $\frac{x-2}{3} = \frac{y+2}{-2} = z+1$ のなす角を求めよ。

(4) 点 (1, 2, -2) を通り、ベクトル $\vec{n} = (5, 4, -6)$ に垂直な平面の方程式を求めよ。

(5) 点 (0, 1, -3) を通り、直線 $\frac{x-2}{-2} = y-3 = \frac{z}{7}$ に垂直な平面の方程式を求めよ。

(6) 点 (3, -1, 1) を通り、平面 $2x + y + 2z = 3$ に平行な平面の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(3) 2直線の方向ベクトルをそれぞれ $\vec{a} = (-2, 6, 4)$、$\vec{b} = (3, -2, 1)$ とする。2直線のなす角 $\theta$ は、

$$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|}$$

で与えられる。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-2)(3) + (6)(-2) + (4)(1) = -6 - 12 + 4 = -14$

$|\vec{a}| = \sqrt{(-2)^2 + 6^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 36 + 16} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$

$|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}$

$$\cos \theta = \frac{|-14|}{2\sqrt{14}\sqrt{14}} = \frac{14}{2 \cdot 14} = \frac{1}{2}$$

したがって、$\theta = \frac{\pi}{3}$ (または $60^\circ$)

(4) 平面の方程式は $ax + by + cz = d$ の形で表され、法線ベクトルが $(a, b, c)$ である。

与えられた法線ベクトルは $\vec{n} = (5, 4, -6)$ なので、$5x + 4y - 6z = d$ と表せる。

この平面は点 (1, 2, -2) を通るので、

$5(1) + 4(2) - 6(-2) = d$

$5 + 8 + 12 = d$

$d = 25$

したがって、平面の方程式は $5x + 4y - 6z = 25$

(5) 直線 $\frac{x-2}{-2} = y-3 = \frac{z}{7}$ の方向ベクトルは $\vec{v} = (-2, 1, 7)$ である。

この直線に垂直な平面の法線ベクトルは $\vec{v}$ と平行なので、平面の方程式は $-2x + y + 7z = d$ と表せる。

この平面は点 (0, 1, -3) を通るので、

$-2(0) + 1(1) + 7(-3) = d$

$1 - 21 = d$

$d = -20$

したがって、平面の方程式は $-2x + y + 7z = -20$

(6) 平面 $2x + y + 2z = 3$ に平行な平面の方程式は $2x + y + 2z = d$ と表せる。

この平面は点 (3, -1, 1) を通るので、

$2(3) + (-1) + 2(1) = d$

$6 - 1 + 2 = d$

$d = 7$

したがって、平面の方程式は $2x + y + 2z = 7$

3. 最終的な答え

(3) $\frac{\pi}{3}$ (または $60^\circ$)

(4) $5x + 4y - 6z = 25$

(5) $-2x + y + 7z = -20$

(6) $2x + y + 2z = 7$