全体集合 $U$ を12以下の正の整数の集合とする。$A$ を10の正の約数の集合、$B$ を12の正の約数の集合とする。このとき、$A \cap B$ と $\overline{A \cup B}$ を求めよ。

1. 問題の内容

全体集合 $U$ を12以下の正の整数の集合とする。$A$ を10の正の約数の集合、$B$ を12の正の約数の集合とする。このとき、$A \cap B$ と $\overline{A \cup B}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$U, A, B$ を具体的に書き出す。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$

$A = \{1, 2, 5, 10\}$

$B = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$

次に、$A \cap B$ を求める。$A \cap B$ は $A$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合である。

$A \cap B = \{1, 2\}$

次に、$A \cup B$ を求める。$A \cup B$ は $A$ または $B$ に含まれる要素の集合である。

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12\}$

最後に、$\overline{A \cup B}$ を求める。$\overline{A \cup B}$ は $U$ の中で $A \cup B$ に含まれない要素の集合である。

$\overline{A \cup B} = U - (A \cup B) = \{7, 8, 9, 11\}$

3. 最終的な答え

$A \cap B = \{1, 2\}$

$\overline{A \cup B} = \{7, 8, 9, 11\}$