問題は、与えられた乗法公式の展開式を答えるものです。具体的には、以下の7つの式を展開する必要があります。 (1) $(a+b)^2$ (2) $(a-b)^2$ (3) $(a+b)(a-b)$ (4) $(ax+b)(cx+d)$ （これはすでに展開されています） (5) $(a+b)^3$ (6) $(a-b)^3$ (7) $(a+b+c)^2$

1. 問題の内容

問題は、与えられた乗法公式の展開式を答えるものです。具体的には、以下の7つの式を展開する必要があります。

(1) $(a+b)^2$

(2) $(a-b)^2$

(3) $(a+b)(a-b)$

(4) $(ax+b)(cx+d)$ （これはすでに展開されています）

(5) $(a+b)^3$

(6) $(a-b)^3$

(7) $(a+b+c)^2$

2. 解き方の手順

各公式に従って展開します。

(1) $(a+b)^2$

これは $(a+b)(a+b)$ を展開することと同じです。

$a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

(2) $(a-b)^2$

これは $(a-b)(a-b)$ を展開することと同じです。

$a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$

(3) $(a+b)(a-b)$

これは $(a+b)(a-b)$ を展開することと同じです。

$a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2$

(4) $(ax+b)(cx+d)$

これはすでに展開されています。

$acx^2 + (ad+bc)x + bd$

(5) $(a+b)^3$

これは $(a+b)(a+b)(a+b)$ または $(a+b)(a+b)^2$ として展開できます。$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ なので、

$(a+b)(a^2 + 2ab + b^2) = a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

(6) $(a-b)^3$

これは $(a-b)(a-b)(a-b)$ または $(a-b)(a-b)^2$ として展開できます。$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ なので、

$(a-b)(a^2 - 2ab + b^2) = a^3 - 2a^2b + ab^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

(7) $(a+b+c)^2$

これは $(a+b+c)(a+b+c)$ を展開することと同じです。

$a^2 + ab + ac + ab + b^2 + bc + ac + bc + c^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

3. 最終的な答え

(1) $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

(2) $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

(3) $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$

(4) $(ax+b)(cx+d) = acx^2 + (ad+bc)x + bd$

(5) $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

(6) $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

(7) $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$