$\alpha$ の動径が第2象限にあり、$\beta$ の動径が第1象限にある。$\sin{\alpha} = \frac{2}{3}$、$\cos{\beta} = \frac{3}{5}$ のとき、$\sin{(\alpha-\beta)}$ と $\cos{(\alpha+\beta)}$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\alpha$ の動径が第2象限にあり、$\beta$ の動径が第1象限にある。$\sin{\alpha} = \frac{2}{3}$、$\cos{\beta} = \frac{3}{5}$ のとき、$\sin{(\alpha-\beta)}$ と $\cos{(\alpha+\beta)}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\cos{\alpha}$ と $\sin{\beta}$ を求める。

$\alpha$ は第2象限にあるので、$\cos{\alpha} < 0$ である。

$\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1$ より、

$\cos^2{\alpha} = 1 - \sin^2{\alpha} = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$\cos{\alpha} = -\sqrt{\frac{5}{9}} = -\frac{\sqrt{5}}{3}$

$\beta$ は第1象限にあるので、$\sin{\beta} > 0$ である。

$\sin^2{\beta} + \cos^2{\beta} = 1$ より、

$\sin^2{\beta} = 1 - \cos^2{\beta} = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$\sin{\beta} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

$\sin{(\alpha-\beta)}$ を求める。

$\sin{(\alpha-\beta)} = \sin{\alpha}\cos{\beta} - \cos{\alpha}\sin{\beta} = (\frac{2}{3})(\frac{3}{5}) - (-\frac{\sqrt{5}}{3})(\frac{4}{5}) = \frac{6}{15} + \frac{4\sqrt{5}}{15} = \frac{6+4\sqrt{5}}{15}$

$\cos{(\alpha+\beta)}$ を求める。

$\cos{(\alpha+\beta)} = \cos{\alpha}\cos{\beta} - \sin{\alpha}\sin{\beta} = (-\frac{\sqrt{5}}{3})(\frac{3}{5}) - (\frac{2}{3})(\frac{4}{5}) = -\frac{3\sqrt{5}}{15} - \frac{8}{15} = \frac{-3\sqrt{5}-8}{15} = -\frac{3\sqrt{5}+8}{15}$

3. 最終的な答え

$\sin{(\alpha-\beta)} = \frac{6+4\sqrt{5}}{15}$

$\cos{(\alpha+\beta)} = -\frac{8+3\sqrt{5}}{15}$