不等式 $1-x \le 4x+7 \le x+3a$ を満たす整数 $x$ がちょうど1つとなるような整数 $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

不等式 $1-x \le 4x+7 \le x+3a$ を満たす整数 $x$ がちょうど1つとなるような整数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を $x$ について解きます。

$1-x \le 4x+7$ より、 $-6 \le 5x$ なので $x \ge -\frac{6}{5} = -1.2$ です。

$4x+7 \le x+3a$ より、 $3x \le 3a - 7$ なので $x \le a - \frac{7}{3} = a - 2.333...$ です。

したがって、$-\frac{6}{5} \le x \le a - \frac{7}{3}$ となります。

この範囲に含まれる整数 $x$ が1つだけとなるためには、整数 $x$ が $-1$ のみである必要があります。

よって、 $-1.2 \le x \le a - \frac{7}{3}$ より、$x=-1$ が必要です。

$x$ が $-1$ のみなので、

$-1 \le a - \frac{7}{3} < 0$

である必要があります。

$a - \frac{7}{3} \ge -1$ より $a \ge \frac{7}{3} - 1 = \frac{4}{3} = 1.333...$

$a - \frac{7}{3} < 0$ より $a < \frac{7}{3} = 2.333...$

整数 $a$ の範囲を考えると、$2 \le a \le 2$ が求められます。つまり、$a=2$です。

$a=2$のとき、$-\frac{6}{5} \le x \le 2 - \frac{7}{3} = -\frac{1}{3}$ となります。

この範囲に含まれる整数は $x=-1$ のみなので、条件を満たします。

3. 最終的な答え

$a = 2$