与えられた2つの数列の初項から第 $n$ 項までの和をそれぞれ求める問題です。 (1) $1^2, 3^2, 5^2, \dots$ (2) $1, 1+2, 1+2+2^2, \dots$

1. 問題の内容

与えられた2つの数列の初項から第 $n$ 項までの和をそれぞれ求める問題です。

(1) $1^2, 3^2, 5^2, \dots$

(2) $1, 1+2, 1+2+2^2, \dots$

2. 解き方の手順

(1) 数列 $1^2, 3^2, 5^2, \dots$ の第 $k$ 項 $a_k$ は、 $a_k = (2k-1)^2$ と表すことができます。したがって、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$$S_n = \sum_{k=1}^n (2k-1)^2 = \sum_{k=1}^n (4k^2 - 4k + 1)$$

$$= 4 \sum_{k=1}^n k^2 - 4 \sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n 1$$

$$= 4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n$$

$$= \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1) + n$$

$$= \frac{n}{3} [2(n+1)(2n+1) - 6(n+1) + 3]$$

$$= \frac{n}{3} [2(2n^2+3n+1) - 6n - 6 + 3]$$

$$= \frac{n}{3} [4n^2 + 6n + 2 - 6n - 3]$$

$$= \frac{n}{3} (4n^2 - 1) = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$$

$$= \frac{n(4n^2 - 1)}{3}$$

(2) 数列 $1, 1+2, 1+2+2^2, \dots$ の第 $k$ 項 $b_k$ は、 $b_k = \sum_{i=0}^{k-1} 2^i$ と表すことができます。これは初項1、公比2の等比数列の和なので、

$$b_k = \frac{1(2^k - 1)}{2-1} = 2^k - 1$$

したがって、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$$S_n = \sum_{k=1}^n (2^k - 1) = \sum_{k=1}^n 2^k - \sum_{k=1}^n 1$$

$$= \frac{2(2^n - 1)}{2-1} - n = 2(2^n - 1) - n = 2^{n+1} - 2 - n$$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{n(4n^2 - 1)}{3}$

(2) $2^{n+1} - n - 2$