次の定積分の値を求めます。 (1) $\int_{-1}^{2} x(x-1)^3 dx$ (2) $\int_{1}^{e} \frac{\log x + 1}{x} dx$ (3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin^2 x + 1) \cos x dx$ (4) $\int_{0}^{2} \sqrt{4 - x^2} dx$ (ヒント: $x = 2 \sin t$ とおく) (5) $\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{1}{(9 + x^2)^2} dx$ (ヒント: $x = 3 \tan t$ とおく)

はい、承知いたしました。画像にある5つの定積分問題を解きます。

1. 問題の内容

次の定積分の値を求めます。

(1) $\int_{-1}^{2} x(x-1)^3 dx$

(2) $\int_{1}^{e} \frac{\log x + 1}{x} dx$

(3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin^2 x + 1) \cos x dx$

(4) $\int_{0}^{2} \sqrt{4 - x^2} dx$ (ヒント: $x = 2 \sin t$ とおく)

(5) $\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{1}{(9 + x^2)^2} dx$ (ヒント: $x = 3 \tan t$ とおく)

2. 解き方の手順

(1) $\int_{-1}^{2} x(x-1)^3 dx$

まず、$(x-1)^3$を展開します。

$(x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$

したがって、積分は以下のようになります。

$\int_{-1}^{2} x(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) dx = \int_{-1}^{2} (x^4 - 3x^3 + 3x^2 - x) dx$

これを積分すると、

$[\frac{x^5}{5} - \frac{3x^4}{4} + x^3 - \frac{x^2}{2}]_{-1}^{2} = (\frac{32}{5} - 12 + 8 - 2) - (-\frac{1}{5} - \frac{3}{4} - 1 - \frac{1}{2}) = \frac{33}{5} - 6 + \frac{3}{4} + \frac{3}{2} = \frac{132-120+15+30}{20} = \frac{57}{20}$

(2) $\int_{1}^{e} \frac{\log x + 1}{x} dx$

$u = \log x + 1$ と置換します。すると、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{x}$ となり、$du = \frac{1}{x} dx$ です。

$x = 1$ のとき $u = \log 1 + 1 = 1$ であり、$x = e$ のとき $u = \log e + 1 = 1 + 1 = 2$ です。

したがって、積分は以下のようになります。

$\int_{1}^{2} u du = [\frac{u^2}{2}]_{1}^{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

(3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin^2 x + 1) \cos x dx$

$u = \sin x$ と置換します。すると、$\frac{du}{dx} = \cos x$ となり、$du = \cos x dx$ です。

$x = 0$ のとき $u = \sin 0 = 0$ であり、$x = \frac{\pi}{2}$ のとき $u = \sin \frac{\pi}{2} = 1$ です。

したがって、積分は以下のようになります。

$\int_{0}^{1} (u^2 + 1) du = [\frac{u^3}{3} + u]_{0}^{1} = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$

(4) $\int_{0}^{2} \sqrt{4 - x^2} dx$

$x = 2 \sin t$ と置換します。すると、$\frac{dx}{dt} = 2 \cos t$ となり、$dx = 2 \cos t dt$ です。

$x = 0$ のとき $2 \sin t = 0$ なので $t = 0$ であり、$x = 2$ のとき $2 \sin t = 2$ なので $\sin t = 1$ となり $t = \frac{\pi}{2}$ です。

また、$\sqrt{4 - x^2} = \sqrt{4 - 4 \sin^2 t} = \sqrt{4(1 - \sin^2 t)} = \sqrt{4 \cos^2 t} = 2 \cos t$ です。

したがって、積分は以下のようになります。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (2 \cos t)(2 \cos t) dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 4 \cos^2 t dt = 4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos(2t)}{2} dt = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos(2t)) dt = 2[t + \frac{\sin(2t)}{2}]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 2(\frac{\pi}{2} + 0 - 0 - 0) = \pi$

(5) $\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{1}{(9 + x^2)^2} dx$

$x = 3 \tan t$ と置換します。すると、$\frac{dx}{dt} = 3 \sec^2 t$ となり、$dx = 3 \sec^2 t dt$ です。

$x = 0$ のとき $3 \tan t = 0$ なので $t = 0$ であり、$x = \sqrt{3}$ のとき $3 \tan t = \sqrt{3}$ なので $\tan t = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ となり $t = \frac{\pi}{6}$ です。

また、$9 + x^2 = 9 + 9 \tan^2 t = 9(1 + \tan^2 t) = 9 \sec^2 t$ です。

したがって、積分は以下のようになります。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{(9 \sec^2 t)^2} (3 \sec^2 t) dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{3 \sec^2 t}{81 \sec^4 t} dt = \frac{1}{27} \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{\sec^2 t} dt = \frac{1}{27} \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos^2 t dt = \frac{1}{27} \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1 + \cos(2t)}{2} dt = \frac{1}{54} \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} (1 + \cos(2t)) dt = \frac{1}{54}[t + \frac{\sin(2t)}{2}]_{0}^{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{54}(\frac{\pi}{6} + \frac{\sin(\frac{\pi}{3})}{2}) = \frac{1}{54}(\frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{4}) = \frac{\pi}{324} + \frac{\sqrt{3}}{216}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{57}{20}$

(2) $\frac{3}{2}$

(3) $\frac{4}{3}$

(4) $\pi$

(5) $\frac{\pi}{324} + \frac{\sqrt{3}}{216}$