次の数列の初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。 (1) $1^2, 3^2, 5^2, \dots$ (2) $1, 1+2, 1+2+2^2, \dots$

1. 問題の内容

次の数列の初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。

(1) $1^2, 3^2, 5^2, \dots$

(2) $1, 1+2, 1+2+2^2, \dots$

2. 解き方の手順

(1) 数列の一般項を求め、和の公式を利用する。

与えられた数列は、奇数の二乗の数列である。第 $n$ 項は $(2n-1)^2$ と表せる。したがって、数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$S_n = \sum_{k=1}^n (2k-1)^2 = \sum_{k=1}^n (4k^2 - 4k + 1) = 4\sum_{k=1}^n k^2 - 4\sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n 1$

$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$, $\sum_{k=1}^n 1 = n$ であるから、

$S_n = 4\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4\frac{n(n+1)}{2} + n = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1) + n$

$S_n = \frac{2n(n+1)(2n+1) - 6n(n+1) + 3n}{3} = \frac{n(2(n+1)(2n+1) - 6(n+1) + 3)}{3}$

$S_n = \frac{n(2(2n^2 + 3n + 1) - 6n - 6 + 3)}{3} = \frac{n(4n^2 + 6n + 2 - 6n - 3)}{3} = \frac{n(4n^2 - 1)}{3} = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

(2) 数列の一般項を求め、和の公式を利用する。

与えられた数列の第 $n$ 項 $a_n$ は、初項1、公比2の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和である。

$a_n = \sum_{k=0}^{n-1} 2^k = \frac{1(2^n - 1)}{2-1} = 2^n - 1$

したがって、数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$S_n = \sum_{k=1}^n (2^k - 1) = \sum_{k=1}^n 2^k - \sum_{k=1}^n 1 = \frac{2(2^n - 1)}{2-1} - n = 2^{n+1} - 2 - n$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

(2) $2^{n+1} - n - 2$