次の極限を求めます。 $\lim_{x \to \infty} \log_4 \frac{2x+1}{x}$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x \to \infty} \log_4 \frac{2x+1}{x}$

2. 解き方の手順

まず、対数の中身の極限を考えます。

$\lim_{x \to \infty} \frac{2x+1}{x}$

分子と分母を $x$ で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ となるので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1} = \frac{2 + 0}{1} = 2$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{2x+1}{x} = 2$

次に、対数関数の極限を考えます。対数関数は連続関数なので、極限を中に入れることができます。

$\lim_{x \to \infty} \log_4 \frac{2x+1}{x} = \log_4 \left( \lim_{x \to \infty} \frac{2x+1}{x} \right) = \log_4 2$

$\log_4 2$ を簡単にします。$4^{\frac{1}{2}} = 2$ なので、$\log_4 2 = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$