多項式 $ax^3 - x^2y + by^2 + c$ が与えられています。 (1) $x$ に着目したとき、この多項式は何次式で、定数項は何か。 (2) $y$ に着目したとき、この多項式は何次式で、定数項は何か。 (3) $x$ と $y$ の両方に着目したとき、この多項式は何次式で、定数項は何か。

1. 問題の内容

多項式 $ax^3 - x^2y + by^2 + c$ が与えられています。

(1) $x$ に着目したとき、この多項式は何次式で、定数項は何か。

(2) $y$ に着目したとき、この多項式は何次式で、定数項は何か。

(3) $x$ と $y$ の両方に着目したとき、この多項式は何次式で、定数項は何か。

2. 解き方の手順

(1) $x$ に着目する場合

各項の $x$ の次数を調べます。

$ax^3$ の次数は3

$-x^2y$ の次数は2

$by^2$ の次数は0

$c$ の次数は0

最も高い次数は3なので、3次式です。

$x$ を含まない項が定数項なので、定数項は $by^2 + c$ です。

(2) $y$ に着目する場合

各項の $y$ の次数を調べます。

$ax^3$ の次数は0

$-x^2y$ の次数は1

$by^2$ の次数は2

$c$ の次数は0

最も高い次数は2なので、2次式です。

$y$ を含まない項が定数項なので、定数項は $ax^3 + c$ です。

(3) $x$ と $y$ の両方に着目する場合

各項の $x$ と $y$ の次数の和を調べます。

$ax^3$ の次数は3

$-x^2y$ の次数は3 (2+1)

$by^2$ の次数は2

$c$ の次数は0

最も高い次数は3なので、3次式です。

$x$ も $y$ も含まない項が定数項なので、定数項は $c$ です。

3. 最終的な答え

(1) $x$ に着目したとき：3次式、定数項 $by^2 + c$

(2) $y$ に着目したとき：2次式、定数項 $ax^3 + c$

(3) $x$ と $y$ に着目したとき：3次式、定数項 $c$